Question

Упростить выражение ctg^2a-cos^2a=

Answer 1

${\rm ctg}^2\alpha-\cos^2\alpha=\cos^2\alpha\left(\dfrac{1}{\sin^2\alpha}-1\right)=\cos^2\alpha\cdot \dfrac{1-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\\ \\ \\ =\cos^2\alpha\cdot \dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\cos^2\alpha\cdot {\rm ctg}^2\alpha$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами:

ctg^2(a) - cos^2(a) = (1/tan^2(a)) - cos^2(a)

Теперь преобразуем выражение, используя известные соотношения:

1/tan^2(a) = cos^2(a)/sin^2(a)

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

(1/tan^2(a)) - cos^2(a) = (cos^2(a)/sin^2(a)) - cos^2(a)

Для дальнейшего упрощения, найдем общий знаменатель:

(cos^2(a) - cos^2(a)*sin^2(a))/sin^2(a)

Применим формулу разности квадратов:

(cos^2(a) - cos^2(a)(1 - sin^2(a)))/sin^2(a)

Раскроем скобки:

(cos^2(a) - cos^2(a) + cos^4(a))/sin^2(a)

Упростим:

cos^4(a)/sin^2(a)

В итоге, упрощенное выражение равно cos^4(a)/sin^2(a).