Question

Разложить функцию по формуле Тейлора до при .

Answer 1

Рассмотрим $g(t)=\sqrt{1+e^t}$ и разложим ее по формуле Тейлора до $o(t^2)$.

$g(0)=\sqrt{2}$

$g'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+e^t}}\cdot e^t=>g'(0)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\ g''(t)=\dfrac{e^t\sqrt{1+e^t}-e^t \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{1+e^t}}\cdot e^t}{2(1+e^t)} =\dfrac{2e^t+2e^{2t}-e^{2t}}{4(1+e^t)^\frac{3}{2}} =\dfrac{2e^t+e^{2t}}{4(1+e^t)^\frac{3}{2}} =>g''(0)=\dfrac{3}{8\sqrt{2}}$

$g(t)=\sqrt{2}+\dfrac{1}{1!\cdot 2\sqrt{2}}t+\dfrac{3}{2!\cdot 8\sqrt{2}}t^2+o(t^2)=\sqrt{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}t+\dfrac{3}{16\sqrt{2}}t^2+o(t^2)$

А тогда искомое разложение $f(x)=g(x^2)=\sqrt{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}x^2+\dfrac{3}{16\sqrt{2}}x^4+o(x^4)$

Answer 2

Для разложения функции по формуле Тейлора до заданного порядка n в точке a используется следующая формула:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n!

В данном случае, мы хотим разложить функцию до 4-го порядка в точке a = 0. То есть, нам нужно найти значения функции, ее производных и подставить их в формулу Тейлора.

Поскольку вы не указали конкретную функцию, я предположу, что вы хотите разложить в ряд функцию e^x (экспоненциальная функция) в точке a = 0.

Начнем с поиска значений функции и ее производных в точке a = 0:

f(0) = e^0 = 1 f'(0) = (e^x)'|(x=0) = e^0 = 1 f''(0) = (e^x)''|(x=0) = e^0 = 1 f'''(0) = (e^x)'''|(x=0) = e^0 = 1 f^4(0) = (e^x)^4|(x=0) = e^0 = 1

Теперь, используя формулу Тейлора, мы можем разложить функцию e^x до 4-го порядка в точке a = 0:

e^x ≈ 1 + 1(x-0) + 1(x-0)^2/2! + 1(x-0)^3/3! + 1(x-0)^4/4!

Упрощая выражение, получим:

e^x ≈ 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!

Итак, разложение функции e^x по формуле Тейлора до 4-го порядка в точке a = 0 будет:

e^x ≈ 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!