Question

Найдите все значения a и b, при которых уравнения x(x^2-2x-7)=a и x(x^2+3x-2)=b имеют два общих корня. В ответе укажите наибольшее возможное значение a+b

Answer 1

Ответ: -4

Объяснение:

Поскольку уравнения :

x(x^2-2x-7)-a=0

x(x^2+3x-2)-b=0

имеют два общих корня , то  их разность    обязана иметь эти два корня.

x(x^2+3x-2)-b - x(x^2-2x-7)+a=0

x*(5x+5)+a-b=0

5x^2+5x+(a-b)=0

x^2+x+(a-b)/5=0

Поскольку  это квадратное уравнение , то оно имеет не более двух корней.  Cоответственно данное уравнение должно иметь ровно два корня и эти корни как раз являются общими для двух данных уравнений:

x(x^2-2x-7)-a=0

x(x^2+3x-2)-b=0

x^2+x+(a-b)/5=0

По  теореме Виета  это значит ,  что  сумма этих двух общих корней равна -1.

Вернемся к уравнению 1

x^3-2*x^2-7*x-a=0

Поскольку это уравнение имеет  хотя бы два  действительных корня ,  то поскольку это уравнение нечетной степени ,  то автоматически имеет и 3  действительный корень. (Многочлен нечетной степени всегда имеет нечетное число действительных корней )

Тогда, согласно общей теореме Виета, cумма всех трех корней этого уравнения равна  - его второй член .  

То  есть   x1+x2+x3=-(-2)=2

Cумма  первых двух нам известна :

x1+x2=-1

Откуда : x3= 2-(-1)=3

Таким  образом  параметр a, если он существует, единственный и его   можно найти просто подставив его 3 корень в уравнение

a= 3*(3^2-2*3-7)= 3*(-4)=-12

Аналогично для уравнения 2  можно  получить параметр b

x1+x2+x3=-3

x3=-3-(-1)=-2

b= -2*( 4-6-2)= -2*(-4)=8

Поскольку мы произвели  преобразование    разности уравнений , то хотя бы для одного из уравнений требуется сделать проверку.

Как  мы уже знаем

x^2+x+(a-b)/5=0

x^2+x+(-12-8)/5=0

x^2+x-4=0

Проверим являются  ли эти корни  корнями уравнения

x^3-2*x^2-7*x+12=0

Для  этого выполним произведение (учитывая ,  что x3=3)

(x^2+x-4)*(x-3)= x^3+x^2-4*x-3*x^2-3*x+12=x^3-2*x^2-7*x+12  -совпадает с исходным.

Ответ: a=-12 ; b=8  ; a+b =-4

Answer 2

Для того чтобы уравнения имели два общих корня, необходимо, чтобы оба уравнения были равными нулю при одних и тех же значениях x. Поэтому мы можем приравнять оба уравнения к нулю и решить полученные квадратные уравнения.

Уравнение 1: x(x^2-2x-7) = a Уравнение 2: x(x^2+3x-2) = b

Для первого уравнения: x(x^2-2x-7) = 0 x(x-4)(x+7) = 0

Отсюда получаем три возможных значения x: x = 0, x = 4, x = -7.

Подставим эти значения во второе уравнение: При x = 0: 0(0^2+3(0)-2) = b 0 = b

При x = 4: 4(4^2+3(4)-2) = b 4(16+12-2) = b 4(26) = b b = 104

При x = -7: -7((-7)^2+3(-7)-2) = b -7(49-21-2) = b -7(26) = b b = -182

Таким образом, возможные значения a и b равны: a = 0, b = 0 a = 0, b = -182 a = 0, b = 104

Наибольшее возможное значение a + b будет при a = 0 и b = 104: a + b = 0 + 104 = 104

Итак, наибольшее возможное значение a + b равно 104.