Question

Решите уравнение sin8x=-sin2x

Answer 1

$\sin8x=-\sin2x$

Перенесем все в левую часть:

$\sin8x+\sin2x=0$

Воспользуемся формулой для суммы синусов:

$2\sin\dfrac{8x+2x}{2}\cos\dfrac{8x-2x}{2}=0$

$\sin5x\cos3x=0$

Уравнение распадается на два:

$\left[\begin{array}{l} \sin5x=0 \\ \cos3x=0 \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} 5x=\pi n \\ 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi n}{5}, \ n\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \ n\in \mathbb{Z}\end{array}$

Ответ: $\dfrac{\pi n}{5};\ \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3}, \ n\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения уравнения sin(8x) = -sin(2x) нам понадобится знание тригонометрических тождеств. Одно из таких тождеств гласит:

sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A)

Применяя это тождество, мы можем переписать уравнение в виде:

sin(8x) = -2 * sin(x) * cos(x)

Затем, также используя тождество sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A), перепишем правую часть уравнения:

-2 * sin(x) * cos(x) = -2 * (2 * sin(x) * cos(x)) * cos(x)

Теперь у нас есть:

sin(8x) = -2 * (2 * sin(x) * cos(x)) * cos(x)

Далее, применим еще одно тригонометрическое тождество:

sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A)

или

sin(4x) = 2 * sin(2x) * cos(2x)

Теперь у нас уравнение примет вид:

sin(8x) = -2 * sin(4x) * cos(2x)

Мы продолжаем использовать тригонометрические тождества и переписываем sin(4x) и cos(2x) в терминах sin(x) и cos(x):

sin(8x) = -2 * (2 * sin(2x) * cos(2x)) * cos(2x)

sin(8x) = -2 * (2 * sin(2x) * (1 - 2 * sin^2(x))) * (1 - 2 * sin^2(x))

sin(8x) = -8 * sin(2x) * (1 - 2 * sin^2(x)) * (1 - 2 * sin^2(x))

Теперь у нас есть уравнение только с переменной x. Мы можем продолжить и попытаться решить его, но на практике такие уравнения часто не имеют аналитического решения. Возможно, это уравнение было задано с опечаткой, или у вас есть какие-то дополнительные ограничения или контекст, которые могут помочь найти решение. Если у вас есть дополнительная информация или вопросы, пожалуйста, уточните, и я постараюсь помочь вам дальше.