Question

Решите уравнение √2sin(2x+pi/4)–√3sinx=sin2x+1

Answer 1

$\sqrt2\, sin(2x+\frac{\pi}{4})-\sqrt3\, sinx=sin2x+1\\\\\sqrt2\cdot (sin2x\cdot cos\frac{\pi}{4}+cos2x\cdot sin\frac{\pi}{4})-\sqrt3\, sinx=sin2x+1\\\\\sqrt2\cdot (sin2x\cdot \frac{\sqrt2}{2}+cos2x\cdot \frac{\sqrt2}{2})-\sqrt3\, sinx=sin2x+1\\\\\underline {sin2x}+cos2x-\sqrt3sinx=\underline {sin2x}+1\\\\(\underbrace {1-2sin^2x}_{cos2x})-\sqrt3sinx=1\\\\2sin^2x+\sqrt3sinx=0\\\\sinx\cdot (2sinx+\sqrt3)=0\\\\a)\; \; sinx=0\; \; ,\; \; x=\pi n\; ,\; n\in Z$

$b)\; \; sinx=-\frac{\sqrt3}{2}\; \; ,\; \; x=(-1)^{k}\cdot (-\frac{\pi}{3})+\pi k\; ,\; k\in Z\\\\x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{3}+\pi k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; x=\pi n\; ,\; \; x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{3}+\pi k\; ,\; \; n,k\in Z\; .$

$x\in [-\frac{3\pi}{2}\, ;\, 0\, ]:\; \; x=0\; ,\; -\frac{\pi}{3}\; ,\; -\frac{2\pi }{3}\; ,\; -\pi \; .$

Answer 2

/////////////////////////////////////////////

Answer 3

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

√2sin(2x+π/4) – √3sinx = sin2x + 1

Для удобства заменим sin2x на 2sinxcosx:

√2sin(2x+π/4) – √3sinx = 2sinxcosx + 1

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

√2sin(2x+π/4) – 2sinxcosx - √3sinx - 1 = 0

Сгруппируем синусы:

√2sin(2x+π/4) - √3sinx - 2sinxcosx - 1 = 0

Заменим sin(2x+π/4) на sin2xcos(π/4) + cos2xsin(π/4), и sin(π/4) и cos(π/4) на 1/√2:

√2(2sinxcosx + cos2x*sinx) - √3sinx - 2sinxcosx - 1 = 0

Упростим:

2√2sinxcosx + 2√2cos2xsinx - √3sinx - 2sinxcosx - 1 = 0

Объединим похожие слагаемые:

(2√2sinxcosx - 2sinxcosx) + (2√2cos2xsinx - √3sinx) - 1 = 0

Упростим еще раз:

(2√2cos2xsinx - √3sinx) - 1 = 0

Вынесем общий множитель из первого слагаемого:

√3sinx(2√2cosx - 1) - 1 = 0

Теперь у нас есть два случая:

1. √3sinx = 1
2. 2√2cosx - 1 = 0

Для первого случая получим:

sinx = 1/√3

Решение этого уравнения будет x = π/6 + 2πn, где n - целое число.

Для второго случая получим:

2√2cosx = 1 cosx = 1/(2√2)

Решение этого уравнения будет x = ±arccos(1/(2√2)) + 2πn, где n - целое число.

Итак, решением исходного уравнения √2sin(2x+π/4) – √3sinx = sin2x + 1 являются две серии значений:

1. x = π/6 + 2πn, где n - целое число.
2. x = ±arccos(1/(2√2)) + 2πn, где n - целое число.