Question

Пожалуйста, найти производную x=cos^3(t),y=sin^3(t)

Answer 1

Производная функции, заданной параметрически:

$y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$

$y'_x=\dfrac{(\sin^3t)'}{(\cos^3t)'}=\dfrac{3\sin^2t\cdot(\sin t)'}{3\cos^2t\cdot (\cos t)'}=\dfrac{\sin^2t\cdot\cos t}{\cos^2t\cdot (-\sin t)}=-\dfrac{\sin t}{\cos t}=-\mathrm{tg} t$

Answer 2

Для нахождения производных x и y по t, используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

По цепному правилу производная сложной функции f(g(t)) равна произведению производной внешней функции f'(g(t)) и производной внутренней функции g'(t).

Для x = cos^3(t):

Первый шаг: Посмотрим на внешнюю функцию f(u) = u^3, где u = cos(t). Функция f(u) имеет производную f'(u) = 3u^2.

Второй шаг: Теперь рассмотрим внутреннюю функцию g(t) = cos(t). Функция g(t) имеет производную g'(t) = -sin(t).

Теперь применим цепное правило:

(x)' = (cos^3(t))' = 3(cos(t))^2 * (-sin(t)) = -3cos^2(t) * sin(t)

Таким образом, производная x по t равна -3cos^2(t) * sin(t).

Теперь рассмотрим y = sin^3(t):

Первый шаг: Посмотрим на внешнюю функцию f(u) = u^3, где u = sin(t). Функция f(u) имеет производную f'(u) = 3u^2.

Второй шаг: Теперь рассмотрим внутреннюю функцию g(t) = sin(t). Функция g(t) имеет производную g'(t) = cos(t).

Применяем цепное правило:

(y)' = (sin^3(t))' = 3(sin(t))^2 * cos(t) = 3sin^2(t) * cos(t)

Таким образом, производная y по t равна 3sin^2(t) * cos(t).