Question

В прямоугольным другой ABC угол B =90° CD-биссектриса , угол ACD=60° . найдите длину катета AB если BD=5 см

Answer 1

Ответ:

Объяснение:Решение: ∠А=90-60=30°, ∠АСД=60:2=30°, ⇒ ΔАСД - равнобедренный, АД=СД.

Рассмотрим Δ ВСД - прямоугольный, ∠ВСД=30°⇒ВД=12 СД.

СД=2ВД=10 см.

АД=ВД=10 см

АВ=АД+ВД=10+5=15 см

Ответ: 15 см.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ACD:

sin(ACD) / CD = sin(ADC) / AD

Угол ACD = 60°, а так как CD является биссектрисой угла B, то угол ADC = 90° / 2 = 45°. Значит:

sin(60°) / CD = sin(45°) / AD

sin(60°) равен √3 / 2, а sin(45°) равен √2 / 2. Подставим эти значения в уравнение:

√3 / 2 / CD = √2 / 2 / AD

Учитывая, что CD = BD + BC = BD + AD, подставим BD = 5 см:

√3 / 2 / (5 + AD) = √2 / 2 / AD

Упростим уравнение, умножив обе части на 2AD:

√3AD = √2(5 + AD)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

3AD² = 2(5 + AD)²

Раскроем скобки:

3AD² = 2(25 + 10AD + AD²)

Упростим:

3AD² = 50 + 20AD + 2AD²

Перенесем все члены в одну часть:

AD² - 20AD - 50 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или формулы:

AD = (20 ± √(20² - 4 * 1 * -50)) / 2 * 1

AD = (20 ± √(400 + 200)) / 2

AD = (20 ± √600) / 2

AD = (20 ± 10√6) / 2

AD = 10 ± 5√6

Поскольку длина катета AB должна быть положительной, выберем положительное значение:

AD = 10 + 5√6

Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике ABD, мы можем вычислить длину катета AB:

AB² = AD² - BD²

AB² = (10 + 5√6)² - 5²

AB² = 100 + 100√6 + 150 + 25 - 25

AB² = 225 + 100√6

AB = √(225 + 100√6)

Подставляя значения √3 ≈ 1.732 и √6 ≈ 2.449 в калькулятор, получим:

AB ≈ √(225 + 100 * 2.449) ≈ √(225 + 244.9) ≈ √469.9 ≈ 21.69

Таким образом, длина катета AB составляет примерно 21.69 см.