Question

Решите уравнение cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=sin((п/2)-2x), отобрать корни на промежутке [п;5п/2]​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

По формуле косинуса двойного угла

cosx=cos2(x/2)–sin2(x/2)

По формулам приведения

sin((π/2)–2x)=cos2x

Уравнение принимает вид:

cosx=cos2x;

так как cos2x=2cos2x–1

2cos2x–cosx–1=0

D=(–1)2–4·2·(–1)=9

корни (–1/2) и 1

cosx=–1/2 ⇒ х= (± 2π/3)+2πn, n ∈ Z

или

сosx=1 ⇒ x = 2πk, k ∈ Z

а) (± 2π/3)+2πn; 2πk, n,k ∈ Z

б) х=(–2π/3)+2π=4π/3 ∈ [π; 5π/2]

x=2π ∈ [π; 5π/2]

О т в е т. 4π/3 ; 2π

Ну так как то

Answer 2

Для решения данного уравнения, начнем с преобразования его в более удобную форму. Заметим, что:

cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = cos^2(x/2) - (1 - cos^2(x/2)) = 2cos^2(x/2) - 1.

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

2cos^2(x/2) - 1 = sin(π/2 - 2x).

Заменим sin(π/2 - 2x) на cos(2x):

2cos^2(x/2) - 1 = cos(2x).

Теперь решим уравнение:

2cos^2(x/2) - 1 - cos(2x) = 0.

Для удобства обозначим cos(x/2) за t. Тогда уравнение примет вид:

2t^2 - 1 - 2t^2 = 0,

t^2 - 1 = 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

t^2 = 1.

Отсюда получаем два значения t:

t = 1 или t = -1.

Вспоминаем, что t = cos(x/2). Поэтому имеем два уравнения:

1. cos(x/2) = 1,

2. cos(x/2) = -1.

3. cos(x/2) = 1:

На промежутке [π; 5π/2] косинус положителен или равен нулю. Мы знаем, что cos(0) = 1, и тогда x/2 = 0:

x = 2 * 0 = 0.

2. cos(x/2) = -1:

На промежутке [π; 5π/2] косинус не может быть равен -1.

Таким образом, уравнение имеет только один корень x = 0 на заданном промежутке [π; 5π/2].