Question

Исследуй степенную функцию y=x^-10 на монотонность

Answer 1

$y=x^{-10} \\ \\ y'=-10x^{-9}=-\frac{10}{x^9} \\ \\ x^9\neq 0 \\ x\neq 0 \\ \\ ++++(0)---->_x$

Функция возрастает на интервале (-∞;0)

Убывает на (0; +∞)

Answer 2

Для исследования монотонности функции y = x^(-10) нужно определить знак производной функции. Если производная положительна на всем интервале определения функции, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на всем интервале определения функции, то функция монотонно убывает на этом интервале. Если производная равна нулю на каком-либо интервале, то на этом интервале функция может иметь экстремумы (максимумы или минимумы).

Давайте найдем производную функции y = x^(-10) и проанализируем ее знак.

y = x^(-10)

Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции:

dy/dx = -10 * x^(-10-1) = -10 * x^(-11)

Теперь проанализируем знак производной:

1. Для x > 0, x^(-11) всегда положителен, так как x^(-11) = 1/x^11, а x^11 всегда положителен при положительных значениях x. Значит, dy/dx = -10 * x^(-11) всегда отрицателен для x > 0.

2. Для x < 0, x^(-11) всегда отрицателен, так как x^11 всегда положителен при отрицательных значениях x. Значит, dy/dx = -10 * x^(-11) всегда положителен для x < 0.

Мы выяснили, что производная отрицательна при x > 0 и положительна при x < 0. Таким образом, функция y = x^(-10) монотонно возрастает на интервале x < 0 и монотонно убывает на интервале x > 0.