Question

Найти все значения параметра а, при которых сумма корней квадратного уравнения x^2-ax+20=0 на 11 меньше их произведения. Нужно очень хорошее и подробное объяснения, почерк осень важен.

Answer 1

Ответ:

a=9

Объяснение:

задача решена при помощи теоремы Виета, объяснения на фотографии

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим данное квадратное уравнение и найдем все значения параметра а, которые удовлетворяют заданному неравенству: сумма корней меньше их произведения.

У нас есть квадратное уравнение вида:

$x^2 - ax + 20 = 0.$

Сначала давайте найдем корни этого уравнения. Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac,$

где $a = 1$, $b = -a$, $c = 20$.

Подставим значения и найдем дискриминант:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = a^2 - 80.$

Теперь мы знаем, что если дискриминант положителен ($D > 0$), то у уравнения есть два различных корня. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет один корень кратности два. Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.

Для начала рассмотрим случай, когда у нас есть два различных корня. Корни квадратного уравнения можно найти с помощью следующей формулы:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

Подставим значения и получим:

$x_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 80}}{2}.$

Теперь давайте найдем сумму и произведение корней. Сумма корней равна:

$x_1 + x_2 = \frac{a + \sqrt{a^2 - 80}}{2} + \frac{a - \sqrt{a^2 - 80}}{2} = a.$

Произведение корней равно:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{a^2 - (a^2 - 80)}{4} = \frac{80}{4} = 20.$

Таким образом, заданное неравенство $x_1 + x_2 < x_1 \cdot x_2$ может быть переписано в виде:

$a < 20.$

Это означает, что для случая двух различных корней значение параметра $a$ должно быть меньше 20.

Теперь рассмотрим случай, когда у нас есть один корень кратности два. В этом случае корень можно найти так:

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{a}{2}.$

Сумма и произведение корней в этом случае будут равны:

$x_1 + x_2 = 2 \cdot \frac{a}{2} = a,$ $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}.$

И неравенство $x_1 + x_2 < x_1 \cdot x_2$ примет вид:

$a < \frac{a^2}{4}.$

Упростим это неравенство:

$4a < a^2.$

Это неравенство выполняется, если $a > 0$ и $a > 4$.

Итак, для случая с одним корнем кратности два, параметр $a$ должен быть больше 4.

В итоге, мы определили два набора значений параметра $a$:

1. Если есть два различных корня: $a < 20$.
2. Если есть один корень кратности два: $a > 4$.

Объединяя эти два набора значений, получаем:

$4 < a < 20.$