Question

Найдите значение выражения 2√2sin11π/8 cos 11π/8​

Answer 1

$2\sqrt2\cdot sin\frac{11\pi}{8}\cdot cos\frac{11\pi}{8}=\sqrt2\cdot sin\frac{22\pi}{8}=\sqrt2\cdot sin\frac{11\pi}{4}=\sqrt2\cdot sin(3\pi -\frac{\pi}{4})=\\\\=\sqrt2\cdot sin\frac{\pi}{4}=\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2}{2}=1$

Answer 2

Для вычисления значения выражения, используем следующие тригонометрические тождества:

1. $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Также, вспомним формулу двойного угла для синуса: $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$

Теперь вычислим значение выражения:

$2\sqrt{2} \sin\left(\frac{11\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{11\pi}{8}\right) = 2\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}\right)$

Используем формулу двойного угла для синуса, где $\theta = \frac{\pi}{8}$:

$2\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}\right) = 2\sqrt{2} \cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$

Теперь используем тригонометрические тождества для $\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)$ и $\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$:

$\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Теперь подставим значения и продолжим вычисления:

$2\sqrt{2} \cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = 2\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Сократим некоторые множители:

$= 2 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Теперь найдем значение подкоренного выражения:

$\sqrt{2 - \sqrt{2}} = \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Теперь заменим подкоренное выражение:

$= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Можем сократить множители:

$= 2 \cdot \sqrt{2}$

Итак, значение выражения равно:

$2\sqrt{2} \sin\left(\frac{11\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{11\pi}{8}\right) = 2 \cdot \sqrt{2}$

Ответ: $2 \cdot \sqrt{2}$.