Question

Решить уравнение:cos5x = sin7x​

Answer 1

$\cos5x=\sin7x$

$\cos5x-\sin7x=0$

$\cos5x-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-7x\right)=0$

$-2\sin\dfrac{5x+\left(\frac{\pi}{2}-7x\right)}{2}\sin\dfrac{5x-\left(\frac{\pi}{2}-7x\right)}{2}=0$

$\sin\dfrac{5x+\frac{\pi}{2}-7x}{2}\sin\dfrac{5x-\frac{\pi}{2}+7x}{2}=0$

$\sin\dfrac{\frac{\pi}{2}-2x}{2}\sin\dfrac{12x-\frac{\pi}{2}}{2}=0$

$\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\sin\left(6x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0$

$\left[\begin{array}{l} \sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=0\\ \sin\left(6x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \dfrac{\pi}{4}-x=\pi n\\ 6x-\dfrac{\pi}{4}=\pi n\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\\ 6x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\\ x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{6}, \ n\in\mathbb{Z} \end{array}$

Answer 2

Решение уравнения cos(5x) = sin(7x) потребует использования тригонометрических тождеств и алгебраических манипуляций. Давайте начнем с того, чтобы выразить sin(7x) через cos(5x) с использованием тригонометрических тождеств:

Используем следующие тригонометрические тождества:

1. sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
2. cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)

Мы хотим выразить sin(7x) через cos(5x), поэтому применим тождество (1) несколько раз:

sin(7x) = sin(2 * 3.5x) = 2sin(3.5x)cos(3.5x)

Затем применим тождество (1) к sin(3.5x):

sin(3.5x) = sin(2 * 1.75x) = 2sin(1.75x)cos(1.75x)

Теперь у нас есть выражение для sin(7x) через cos(1.75x):

sin(7x) = 2sin(1.75x)cos(1.75x)

Подставляем это в исходное уравнение:

cos(5x) = 2sin(1.75x)cos(1.75x)

Теперь мы можем поделить обе стороны на cos(1.75x):

cos(5x) / cos(1.75x) = 2sin(1.75x)

Используем тождество (2) для выражения cos(5x) / cos(1.75x):

cos(5x) / cos(1.75x) = cos^2(1.75x) - sin^2(1.75x)

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (1.75x):

cos^2(1.75x) - sin^2(1.75x) = 2sin(1.75x)

Перепишем sin^2(1.75x) как 1 - cos^2(1.75x):

cos^2(1.75x) - (1 - cos^2(1.75x)) = 2sin(1.75x)

Раскроем скобки и упростим:

2cos^2(1.75x) - 1 = 2sin(1.75x)

Теперь мы получили уравнение только с cos(1.75x) и sin(1.75x), которое можно решить численно или с помощью графических методов. Решение зависит от конкретного контекста задачи и точности, которая требуется.

Обратите внимание, что у вас есть исходное уравнение, и вы можете продолжить алгебраические манипуляции для дальнейшего упрощения и решения уравнения.