Question

Помогите пожалуйста с решением. -2sin^2(x) - cos(x) + 1 <0

Answer 1

Ответ:

x∈(-2π/3+2kπ; 2kπ)∪(2kπ; 2π/3+2kπ)

Объяснение:

-2sin²x - cosx + 1 <0

-2(1-cos²x)-cosx+1<0

2cos²x-cosx-1<0

cosx=t⇒-1≤t≤1

2cos²x-cosx-1=2t²-t-1=2t²-2t+t-1=2t(t-1)+(t-1)=(t-1)(2t+1)

(t-1)(2t+1)<0⇒-0,5<t<1

-0,5<cosx<1

x∈(-2π/3+2kπ; 2kπ)∪(2kπ; 2π/3+2kπ)

Answer 2

Давайте решим неравенство:

-2sin^2(x) - cos(x) + 1 < 0

Для упрощения, заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x), используя тригонометрическое тождество:

-2(1 - cos^2(x)) - cos(x) + 1 < 0

Теперь раскроем скобки:

-2 + 2cos^2(x) - cos(x) + 1 < 0

Упорядочим слагаемые:

2cos^2(x) - cos(x) - 1 < 0

Теперь получили квадратное уравнение вида Ax^2 + Bx + C < 0, где A = 2, B = -1 и C = -1.

Для решения этого неравенства можно использовать графический метод, метод интервалов или метод знаков. Давайте воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения Ax^2 + Bx + C = 0:

2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0

Чтобы упростить уравнение, заметим, что оно может быть представлено в виде:

2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 2cos^2(x) - 2cos(x) + cos(x) - 1 = 2cos(x)(cos(x) - 1) + (cos(x) - 1) = (2cos(x) + 1)(cos(x) - 1) = 0

Таким образом, имеем два уравнения:

1. 2cos(x) + 1 = 0

2. cos(x) - 1 = 0

3. Для первого уравнения:

2cos(x) + 1 = 0 cos(x) = -1/2

Решение: x = π/3 + 2πk, где k - целое число.

2. Для второго уравнения:

cos(x) - 1 = 0 cos(x) = 1

Решение: x = 2πm, где m - целое число.

Теперь рассмотрим интервалы между корнями.

Интервал I: (-∞, π/3) Интервал II: (π/3, 2π)

Выберем по одной точке из каждого интервала и определим знак выражения 2cos^2(x) - cos(x) - 1 в каждой из этих точек.

1. Для интервала I: возьмем x = 0 (любое число между -∞ и π/3)

Подставим x = 0 в выражение: 2cos^2(0) - cos(0) - 1 = 2(1) - 1 - 1 = 0

2. Для интервала II: возьмем x = π (любое число между π/3 и 2π)

Подставим x = π в выражение: 2cos^2(π) - cos(π) - 1 = 2(-1) + 1 - 1 = -2

Теперь оценим знак выражения в каждом интервале:

1. В интервале I: 2cos^2(x) - cos(x) - 1 > 0
2. В интервале II: 2cos^2(x) - cos(x) - 1 < 0

Таким образом, решением неравенства -2sin^2(x) - cos(x) + 1 < 0 является интервал I: (-∞, π/3).

Итак, решение неравенства: x принадлежит интервалу (-∞, π/3).