Question

Log log x 2x(6x-2) >=0 20^x-64*5^x-4^x+64<=0 решите пж полностью

Answer 1

( 1/3 ; 1/2 ) ∪ ( 1 ; 3 ]

Answer 2

Давайте поочередно решим оба неравенства.

1. Рассмотрим первое неравенство:

   $\log(\log(x)) + 2x(6x - 2) \geq 0$.

   Начнем с анализа первого слагаемого. Чтобы $\log(\log(x))$ был неотрицательным, необходимо, чтобы $\log(x)$ был больше или равен 1 (так как $\log(1) = 0$). Таким образом, $\log(x) \geq 1$, что эквивалентно $x \geq 10$.

   Теперь рассмотрим второе слагаемое $2x(6x - 2)$. Для начала найдем корни уравнения $6x - 2 = 0$, что дает $x = \frac{1}{3}$. Значит, интервалы, на которых это слагаемое положительно и отрицательно: $(-\infty, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$.

   Теперь объединим оба условия: $x \geq 10$ и $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$. Исключая пересечение, получаем окончательное решение: $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

2. Теперь перейдем ко второму неравенству:

   $20^x - 64 \cdot 5^x - 4^x + 64 \leq 0$.

   Заметим, что 64 в данном уравнении можно заменить на $4^3$, а также 20 можно представить как $4 \cdot 5$. Тогда уравнение будет выглядеть так:

   $(4 \cdot 5)^x - 4^3 \cdot 5^x - 4^x + 4^3 \leq 0$.

   Упростим слагаемые с помощью замены переменной: $u = 4^x$. Теперь у нас есть:

   $(4 \cdot 5)^x - 4^3 \cdot 5^x - u + 4^3 \leq 0$.

   $(20)^x - 4^3 \cdot 5^x - u + 4^3 \leq 0$.

   $20^x - 4^3 \cdot 5^x - u + 4^3 \leq 0$.

   $20^x - 20^x - u + 64 \leq 0$.

   $-u + 64 \leq 0$.

   $u \geq 64$.

   Теперь вернемся к переменной x:

   $4^x \geq 64$.

   $2^{2x} \geq 2^6$.

   $2x \geq 6$.

   $x \geq 3$.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \geq 3$.

Итак, окончательные решения для данных неравенств:

1. $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.
2. $x \geq 3$.