Question

Прямая у=8х+4 является касательной к графику функции у= x3+3x2 –x+9. Найти абсциссу точки касания

Answer 1

Ответ:

-12

Объяснение:

y ' = 3x^2 - 6x - 1 = - 4,  3x^2 - 6x + 3 = 0,  x^2 -2x +1 =0,  (x - 1)^2 = 0,  x = 1

Можно проверить, будут ли одинаковы ординаты у функции и прямой. Если - да, то эта точка - точка касания. Особенно это важно, если получилось два значения х.

Проверка:  у = - 4 - 8 = - 12;   у = 1 - 3 - 1 - 9 = - 12 

Answer 2

Чтобы найти абсциссу точки касания прямой и графика функции, нужно приравнять уравнения этих двух функций и решить полученное уравнение. В данном случае у нас есть прямая у=8х+4 и функция у= x^3+3x^2 –x+9.

Пусть точка касания имеет абсциссу х_0.

Уравнение касательной к функции в точке (x_0, y_0) имеет вид: y = f'(x_0) * (x - x_0) + f(x_0).

Где f'(x_0) - производная функции f(x) в точке x_0.

1. Найдем производную функции f(x) = x^3+3x^2 –x+9: f'(x) = 3x^2 + 6x - 1.

2. Теперь приравняем производную функции к коэффициенту наклона прямой 8 (так как прямая касается графика функции, ее наклон равен производной функции в точке касания): 3x^2 + 6x - 1 = 8.

3. Решим уравнение: 3x^2 + 6x - 1 - 8 = 0, 3x^2 + 6x - 9 = 0.

4. Поиск корней уравнения: Используем квадратное уравнение и решим его с помощью дискриминанта D = b^2 - 4ac.

a = 3, b = 6, c = -9.

D = 6^2 - 4 * 3 * (-9) = 36 + 108 = 144.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня: x_1 = (-b + √D) / 2a = (-6 + √144) / (2 * 3) = (-6 + 12) / 6 = 6 / 6 = 1, x_2 = (-b - √D) / 2a = (-6 - √144) / (2 * 3) = (-6 - 12) / 6 = -18 / 6 = -3.

Таким образом, у нас два возможных значения абсциссы точки касания: x_0 = 1 или x_0 = -3.

5. Чтобы определить, какая из этих абсцисс точек касания искомая, подставим каждое значение x_0 в исходную функцию у= x^3+3x^2 –x+9 и проверим, соответствует ли уравнение касательной условию.

При x_0 = 1: y_0 = 1^3 + 3 * 1^2 - 1 + 9 = 1 + 3 - 1 + 9 = 12.

Таким образом, точка касания имеет координаты (1, 12).

При x_0 = -3: y_0 = (-3)^3 + 3 * (-3)^2 - (-3) + 9 = -27 + 27 + 3 + 9 = 12.

Таким образом, точка касания также имеет координаты (-3, 12).

Таким образом, ответ: абсцисса точки касания равна either 1 or -3 (1 или -3).