Question

Найди последнюю цифру числа 3^1903.

Answer 1

Окончание одно числа в какой-то степени рано или поздно повторяются.

3¹ = 3

3² = 9

3³ = 27

3⁴ = 81

3⁵ = 243

3⁶ = 729

Как видно окончания уже повторяются, это кстати следует из последней цифры числа вот стало окончание 3, дальше точно будет 3·3=9 и потом 9·3=27 (7). Но почему же будет окончание 3 или другое повторяющееся в первый раз? Дело в том, что всего может быть 10 цифр в окончании и рано или поздно цифра повторится. Так вот.

3 в степени 1903, как мы выяснили у тройки окончание повторяются с периодом 4.

_ - знак окончания в моём решении ;)

_3¹⁹⁰³ = _$3^{475\cdot 4+3$ = _3³ = 7

Ответ: 7.

Answer 2

Для нахождения последней цифры числа 3^1903 можно воспользоваться периодом остатков степеней числа 3.

Остатки степеней числа 3 по модулю 10 образуют период длиной 4: 3^1 mod 10 = 3 3^2 mod 10 = 9 3^3 mod 10 = 7 3^4 mod 10 = 1 3^5 mod 10 = 3 и так далее.

Заметим, что степень 1903 можно представить в виде 1903 = 4 * 475 + 3. Таким образом, 3^1903 = (3^4)^475 * 3^3.

Теперь найдем последние цифры:

1. 3^4 mod 10 = 1 (по периоду)
2. 3^3 mod 10 = 7 (по периоду)

Таким образом, 3^1903 mod 10 = (3^4)^475 * 3^3 mod 10 = 1^475 * 7 mod 10 = 7.

Ответ: последняя цифра числа 3^1903 равна 7.