Question

Cos (α — β) , если cos α = — 2/5, sin β = — 5/13; 90° < α < 180°, 180° < β < 270°;

Answer 1

cos (α — β)=(cosα)(cosβ)+(sinα)*(sin β)

sinα=√(1-cos²α)=√(1-4/25)=√21/5

cosβ=-√(1-sin² β)=-√(1-25/169)=-12/13

cos (α — β)=( — 2/5)(-12/13)+(— 5/13)*(√21/5)=(24-5√21)/65

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся формулой для косинуса разности углов:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

У нас даны значения $\cos \alpha = -\frac{2}{5}$ и $\sin \beta = -\frac{5}{13}$, а также ограничения на углы: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ и $180^\circ < \beta < 270^\circ$.

Обратим внимание, что $\cos \alpha$ отрицательный во второй четверти, а $\sin \beta$ отрицательный в третьей четверти. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй четверти, а угол $\beta$ находится в третьей четверти.

Теперь мы можем найти $\sin \alpha$ и $\cos \beta$, используя соотношения для этих тригонометрических функций:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$ $\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta}$

Подставив известные значения, получим:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$ $\cos \beta = -\sqrt{1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$

Теперь мы можем подставить значения $\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\sin \alpha$ и $\cos \beta$ в формулу для $\cos(\alpha - \beta)$:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ $= \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right)$ $= \frac{24}{65} - \frac{5\sqrt{21}}{65}$

Итак, значение $\cos(\alpha - \beta)$ равно $\frac{24}{65} - \frac{5\sqrt{21}}{65}$.