Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+2 y=6, x=0, x=2

Answer 1

Ответ: S=16/3.

Объяснение:

S=6*2-∫(x²+2)*dx, где пределы интегрирования a=0 и b=2. Так как F(x)=∫(x²+2)*dx=1/3*x³+2*x+C, где C - произвольная постоянная, то S=12-[F(2)-F(0)]=12+F(0)-F(2)=12+C-1/3*2³-2*2-C=12-8/3-4=16/3.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, нужно найти точки пересечения этих линий и затем проинтегрировать функцию, представляющую разницу между ними, по переменной x.

Первым шагом найдем точки пересечения линий:

1. Подставим y=x^2+2 в уравнение y=6: x^2 + 2 = 6 x^2 = 4 x = ±2

Итак, точки пересечения линий y=x^2+2 и y=6 равны (2, 6) и (-2, 6).

Теперь мы будем интегрировать функцию, представляющую разницу между линиями y=6 и y=x^2+2, на интервале [-2, 2]:

S = ∫[a,b] [f(x) - g(x)] dx

где f(x) = 6 и g(x) = x^2 + 2, a = -2, b = 2.

S = ∫[-2,2] (6 - (x^2 + 2)) dx S = ∫[-2,2] (4 - x^2) dx

Интегрируя по переменной x:

S = [4x - (x^3)/3] from -2 to 2 S = [8 - 8/3] - [-8 + 8/3] S = (24/3) - (16/3) S = 8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+2, y=6, x=0 и x=2, равна 8/3 (площадные единицы).