Question

Решить неравенство cos 2x + cos x >=0 ​

Answer 1

(2cos(x)−1)(cos(x)+1)=0

2cos(x)−1=0

cos(x)+1=0

x

=

π/3+2πn;5π/3+2πn,π+2πn

Ответ:

5π/3+2πn≤x≤7π/3+2πn для всех целых n

Answer 2

Чтобы решить неравенство $\cos(2x) + \cos(x) \geq 0$, давайте разберемся с ним по частям.

1. Сначала найдем точки, в которых функция $\cos(2x) + \cos(x)$ обращается в ноль:

$\cos(2x) + \cos(x) = 0$

Это уравнение имеет решения, когда обе составляющие равны нулю. Мы знаем, что $\cos(2x) = 0$ при $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k$ - целое число. А $\cos(x) = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

2. Теперь определим знаки функции $\cos(2x) + \cos(x)$ между найденными точками. Для этого используем таблицу знаков:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (\frac{\pi}{4} + (2k-1)\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} + 2k\pi) & (\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi) & (\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{4} + (2k+1)\frac{\pi}{2}) \\ \hline \text{Знак} & - & + & - \\ \hline \end{array}$$

3. Теперь мы видим, что неравенство $\cos(2x) + \cos(x) \geq 0$ выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{4} + (2k-1)\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} + 2k\pi)$ и $(\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{4} + (2k+1)\frac{\pi}{2})$, где $k$ - целое число. То есть, ответ можно записать в виде:

$$x \in \left(\frac{\pi}{4} + (2k-1)\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} + 2k\pi\right) \cup \left(\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{4} + (2k+1)\frac{\pi}{2}\right)$$

где $k$ - целое число.