Question

Помогите найти наибольшее и наименьшее значение функции √5cos2a+2sin2a​

Answer 1

$f(x) = \sqrt{5}*cos2a + 2sin2a = 3sin(2a + arcsin(\frac{\sqrt{5}}{3}))$

Так как синус принимает значения от -1 до 1, то минимальное значение - это -3, а максимальное - это 3.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $f(a) = \sqrt{5}\cos^2(a) + 2\sin^2(a)$, где $a$ - это угол, который может меняться от 0 до $2\pi$, давайте проанализируем её.

Обратите внимание, что $\cos^2(a)$ и $\sin^2(a)$ являются квадратами косинуса и синуса угла $a$ соответственно. Их значения всегда находятся в диапазоне от 0 до 1 включительно.

Таким образом, наибольшее значение функции будет, когда $\cos^2(a) = 1$ и $\sin^2(a) = 1$, то есть при $a = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $a = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число. Подставляя эти значения в функцию, получаем:

$$f\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = \sqrt{5} \cdot 1 + 2 \cdot 1 = \sqrt{5} + 2$$

и

$$f\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) = \sqrt{5} \cdot 1 + 2 \cdot 1 = \sqrt{5} + 2$$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $\sqrt{5} + 2$ и достигается при любых углах вида $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Наименьшее значение функции будет, когда $\cos^2(a) = 0$ и $\sin^2(a) = 0$, то есть при $a = 0 + 2\pi k$ и $a = \pi + 2\pi k$, где $k$ - целое число. Подставляя эти значения в функцию, получаем:

$$f(0 + 2\pi k) = \sqrt{5} \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$$

и

$$f(\pi + 2\pi k) = \sqrt{5} \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$$

Таким образом, наименьшее значение функции равно 0 и достигается при любых углах вида $2\pi k$ и $\pi + 2\pi k$, где $k$ - целое число.