Question

5 класс помогите пж!!! При каких значениях многочлен x^4 + ax^3 - bx^2 + 3x - 9 делится на (x+3)^2 без остатка.

Answer 1

Ответ:

держи свой ответ

Answer 2

Для того чтобы многочлен $x^4 + ax^3 - bx^2 + 3x - 9$ делится на $(x+3)^2$ без остатка, необходимо, чтобы этот многочлен был кратен $(x+3)^2$, что означает, что его корень $x = -3$ должен иметь кратность как минимум 2.

Давайте начнем с нахождения производных многочлена и подставим значение $x = -3$ в них:

1. $f(x) = x^4 + ax^3 - bx^2 + 3x - 9$
2. $f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 - 2bx + 3$
3. $f''(x) = 12x^2 + 6ax - 2b$

Подставим $x = -3$ во все три производные:

1. $f(-3) = (-3)^4 + a(-3)^3 - b(-3)^2 + 3(-3) - 9 = 81 - 27a - 9b - 9 - 9 = 63 - 27a - 9b$
2. $f'(-3) = 4(-3)^3 + 3a(-3)^2 - 2b(-3) + 3 = -108 + 27a + 6b + 3 = -105 + 27a + 6b$
3. $f''(-3) = 12(-3)^2 + 6a(-3) - 2b = 108 - 18a - 2b$

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $63 - 27a - 9b = 0$
2. $-105 + 27a + 6b = 0$
3. $108 - 18a - 2b = 0$

Мы можем решить эту систему уравнений для $a$ и $b$. Сначала сложим второе и третье уравнения, чтобы избавиться от $b$:

$-105 + 27a + 6b + 108 - 18a - 2b = 0$

Упростим:

$3 + 9a = 0$

Отсюда получаем $a = -\frac{1}{3}$.

Подставив значение $a$ во второе уравнение, найдем $b$:

$-105 + 27a + 6b = 0$

$-105 + 27\left(-\frac{1}{3}\right) + 6b = 0$

$-105 - 9 + 6b = 0$

$-114 + 6b = 0$

$6b = 114$

$b = 19$

Итак, для того чтобы многочлен $x^4 + ax^3 - bx^2 + 3x - 9$ делился на $(x+3)^2$ без остатка, значения $a$ и $b$ должны быть $a = -\frac{1}{3}$ и $b = 19$.