Question

Знайдіть проміжки монотонності функції: у =х^2+1/х

Answer 1

у'=2x-1/x², приведем к общему знаменателю.

(2x³-1)/x²=0, дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель от нуля отличен.

2x³-1=0; 2x³=1; x³=0.5;

x=∛0.5

____0______∛0.5_______________

-               -                          +

при x∈[∛0.5;+∞) функция возрастает

при х∈(-∞;0) и при х∈(0;∛0.5] функция убывает.

Answer 2

Щоб знайти проміжки монотонності функції у = х^2 + 1/х, спочатку треба обчислити похідну цієї функції і дослідити її знаки. Зауважте, що враховуючи, що х ≠ 0, можна записати функцію у наступному вигляді:

у = х^2 + 1/х = х^2 + x^(-1)

Давайте обчислимо похідну від цієї функції:

у' = (х^2 + x^(-1))' = (х^2)' + (x^(-1))' = 2х + (-1)x^(-2) = 2х - x^(-2)

Тепер давайте знайдемо значення х, для яких похідна у' буде дорівнювати нулю:

2х - x^(-2) = 0

2х = x^(-2)

2х = 1/х^2

2х^3 = 1

х^3 = 1/2

х = (1/2)^(1/3)

Отже, знайшовши значення х, яке розв'язує рівняння, ми можемо перевірити знаки похідної у' в інтервалах навколо цієї точки, а це допоможе нам визначити проміжки монотонності функції у = х^2 + 1/х.

Але зауважте, що функція у = х^2 + 1/х є параболою зі зміщенням вгору, тому вона не буде монотонною. Вона буде зростати для х < (1/2)^(1/3) і спадати для х > (1/2)^(1/3).

Отже, проміжками монотонності функції є:

1. Для x < (1/2)^(1/3) - функція зростає.
2. Для x > (1/2)^(1/3) - функція спадає.

Враховуючи, що функція не є строго монотонною, ми не можемо вказати точний інтервал для зростання або спаду. Зауважте також, що точка х = (1/2)^(1/3) не входить до проміжків монотонності, оскільки у ніколи не досягає нуля.