Question

Помогите прошу(9 класс) Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину от-резка KP, если AP =9, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.

Answer 1

Ответ:

Ответ: 17    

Объяснение:

Поскольку четырёхугольник  вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно,  Углы  и  — смежные, следовательно,  Из приведённых равенств, получаем, что  Рассмотрим треугольники  и  угол  — общий, углы  и  равны, следовательно, треугольники подобны, откуда  Используя равенство  найдём

Answer 2

Давайте обозначим длины сторон треугольника ABC:

AB = a (сторона, через которую окружность также проходит) AC = b (пусть b > a, так как окружность пересекает сторону AC) BC = c (сторона, которая в 3 раза меньше стороны AB)

Мы знаем, что AP = 9 и BC = c, а также что окружность проходит через вершины B и C. Поэтому можно использовать свойства секущих и касательных для нахождения длин отрезков KP, KB и KC.

Сначала заметим, что KP — секущая, проведенная через точку P, и KC — секущая, проведенная через точку C. Так как секущая и касательная, проведенные к одной окружности из одной точки, образуют прямой угол, то KP и KC пересекаются в точке K на окружности.

Теперь рассмотрим теорему о секущей и касательной:

Для секущей и касательной, проведенных к окружности из одной точки:

$KP \cdot KC = KB^2$

Мы знаем, что сторона BC равна c, и она в 3 раза меньше стороны AB, то есть $AB = 3c$.

Теперь мы можем записать:

$KP \cdot KC = KB^2$ $KP \cdot KC = (KB)^2 = (AB - AK)^2 = (3c - AK)^2$

Также у нас есть прямоугольный треугольник APK, и мы знаем, что $AP = 9$. Используем теорему Пифагора:

$(AP)^2 + (AK)^2 = (KP)^2$ $9^2 + (AK)^2 = (KP)^2$ $81 + (AK)^2 = (KP)^2$

Теперь мы имеем систему уравнений:

$\begin{cases} KP \cdot KC = (3c - AK)^2 \\ 81 + (AK)^2 = (KP)^2 \end{cases}$

Мы хотим найти KP, поэтому избавимся от AK во втором уравнении:

$(AK)^2 = (KP)^2 - 81$

Подставим это значение в первое уравнение:

$KP \cdot KC = (3c - \sqrt{(KP)^2 - 81})^2$

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной KP. Попробуем решить его численно или графически для конкретных значений a, b и c.