Question

X¹⁰-33x⁵+32=0. Роз'язать рівняння.​

Answer 1

x¹⁰ - 33x⁵ + 32 = 0

Сделаем замену :

x⁵ = t    ⇒   x¹⁰ = t²

t² - 33t + 32 = 0

По теореме Виета :

t₁ = 1     t₂ = 32

1) x⁵ = 1        ⇒    x₁ = 1

2) x⁵ = 32     ⇒   x₂ = 2

Ответ : 1 ; 2

Answer 2

Це рівняння з п'ятою ступенем, і його можна розв'язати шляхом введення нової змінної, що дозволяє зводити його до квінтетного квадратного рівняння. Давайте введемо нову змінну:

Позначимо $y = x^5$. Тоді рівняння стане: $y^2 - 33y + 32 = 0.$

Це квадратне рівняння, яке можна розв'язати за допомогою факторизації або за допомогою квадратного кореня. Факторизуємо його:

$(y - 32)(y - 1) = 0.$

Звідси отримуємо два можливих значення $y$:

1. $y - 32 = 0$ => $y = 32$.
2. $y - 1 = 0$ => $y = 1$.

Пам'ятаємо, що $y = x^5$, тому підставляємо ці значення назад і отримуємо два рішення для $x$:

1. $x^5 = 32$ => $x = \sqrt[5]{32}$.
2. $x^5 = 1$ => $x = \sqrt[5]{1}$.

При цьому $x = \sqrt[5]{32}$ можна спростити:

$x = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2.$

А $x = \sqrt[5]{1}$ відповідає одному з коренів 1.

Отже, рівняння $x^{10} - 33x^5 + 32 = 0$ має два розв'язки: $x = 2$ і $x = 1$.