Question

Доведіть, що функція y= -3x+sin2x спадає на множині R. (50 БАЛОВ ДАЮ)

Answer 1

производная функции равна -3+2сosx

т.к.     I 2сosxI≤2

          -5 ≤-3+2сosx≤-1

и т.к. производная на множестве R  отрицательна, то функция на этом множестве убывает. Доказано.

Answer 2

Доведіть, що функція y= -3x+sin2x спадає на множині R. (50 БАЛОВ ДАЮ)

Объяснение:  

y ' = ( -3x +sin2x ) '  = (-3x) '  + (sin2x) '  = - 3 +cos2x*(2x) ' = - 3 +2cos2x <0

действительно :

-1 ≤ cos2x ≤ 1 ||*2   ;    -2 ≤ 2cos2x  ≤ 2 || +( -3)  ;   - 5  ≤ - 3 + 2cos2x ≤ -1

y ' <  0   для всех  x ∈ R    означает что  данная функция убывает на множестве R .

Интересно можно  доказать прямо по определению  ?   x₂ > x₁   y₂ < y₁

если  x₂ > x₁   то    -3x₂ + sin2x₂  < - 3x₁ + sin2x₁          

Answer 3

Щоб довести, що функція y = -3x + sin(2x) спадає на множині R, ми повинні показати, що похідна цієї функції завжди негативна на всій числовій прямій.

Для цього спочатку знайдемо похідну функції y по відношенню до x. Застосуємо правило диференціювання суми функцій:

d/dx(-3x + sin(2x)) = d/dx(-3x) + d/dx(sin(2x)).

Перша похідна функції -3x дорівнює -3. Друга похідна функції sin(2x) за правилом ланцюжків має вигляд cos(2x) * 2.

Таким чином, ми отримуємо:

d/dx(-3x + sin(2x)) = -3 + 2cos(2x).

Щоб перевірити, коли ця похідна є негативною, розглянемо значення cos(2x). Cos(2x) має значення від -1 до 1.

Якщо cos(2x) дорівнює -1, то -3 + 2cos(2x) = -3 + 2(-1) = -3 - 2 = -5.

Якщо cos(2x) дорівнює 1, то -3 + 2cos(2x) = -3 + 2(1) = -3 + 2 = -1.

Таким чином, ми бачимо, що незалежно від значення cos(2x), вираз -3 + 2cos(2x) завжди менше нуля.

Отже, ми довели, що похідна функції y = -3x + sin(2x) є негативною на всій числовій прямій, що означає, що функція спадає на множині R.