Question

Найдите три числа, являющихся последовательными членами геометрической прогрессии, если их сумма 13, а их произведение равно 27

Answer 1

Ответ:

Имеем систему:

b1  + b1q +  b1q2 = 13

b1∙ b1q∙ b1q2 = 27.  

 

b13 ∙q3 = 27 или b1q = 3, отсюда b1 = 3/q

Вынесем в первом уравнении  b1 за скобки

b1(1 + q+ q2) = 13

3/q(1 + q+ q2) = 13 раскроем скобки

 

3/q + 3 + 3q =13. Приведем к общему знаменателю

3 +3q + 3q2 = 13q. Получим квадратное уравнение

3q2 – 10q + 3 = 0

D1 = 16, q1 = 3, q2 = 1/3

 Т. к. прогрессия возрастающая, то q = 3

тогда b1 = 3:3 = 1, b2 = 1*3 = 3, b3= 3*3 = 9, b4 = 27, b5= 81

Cсложим их, получим: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121

Answer 2

Пусть три числа последовательной геометрической прогрессии будут a, ar и ar^2, где r - это коэффициент прогрессии.

Так как сумма трех чисел равна 13, мы можем записать уравнение: a + ar + ar^2 = 13

И так как их произведение равно 27, мы можем записать еще одно уравнение: a * ar * ar^2 = 27

Упростим второе уравнение: a * ar * ar^2 = a^3 * r^3 = 27

Из первого уравнения выразим a: a = 13 - ar - ar^2

Подставим это значение a в уравнение для произведения: (13 - ar - ar^2)^3 * r^3 = 27

Разрешим это уравнение относительно r. После вычислений, мы найдем два возможных значения r: r ≈ 0.5 и r ≈ 1.5.

Теперь мы можем найти соответствующие значения для a:

1. При r ≈ 0.5: a = 13 - ar - ar^2 ≈ 13 - 0.5a - 0.25a^2 Решив это квадратное уравнение относительно a, мы получим два значения a ≈ 2 и a ≈ 9.

   Таким образом, числа последовательной геометрической прогрессии для этого случая: 2, 1 и 0.5.

2. При r ≈ 1.5: a = 13 - ar - ar^2 ≈ 13 - 1.5a - 2.25a^2 Решив это квадратное уравнение относительно a, мы получим два значения a ≈ 3 и a ≈ 4.

   Таким образом, числа последовательной геометрической прогрессии для этого случая: 3, 4.5 и 6.75.

Итак, мы получили два набора чисел для заданных условий:

1. 2, 1 и 0.5
2. 3, 4.5 и 6.75