Question

Упростите выражение (1-х)(1+х)(1+х)(1+х)(1+х)(1+х) - х. Дерзайте!)​

Answer 1

$(1 - x)(1 + x)(1 +x )(1 + x)(1 + x)(1 + x) - x = \\ =( 1 {}^{2} - x {}^{2} )(1 + x) {}^{2} (1 + x) {}^{2} - x = \\ = (1 - x {}^{2} )(1 + x) {}^{4} - x = \\ = (1 - x {}^{2} )(x {}^{4} + 4x {}^{3} + 6x {}^{2} + 4x + 1) - x = \\ = x {}^{4} + 4x {}^{3} + 6x {}^{2} + 4x + 1 - x {}^{6} - 4x {}^{5} - 6x {}^{4} - 4x {}^{3} - x {}^{2} - x = \\ = - 5x {}^{4} + 5x {}^{2} + 3x + 1 - x {}^{6} - 4x {}^{5} = \\ = - x {}^{6} - 4x {}^{5} - 5x {}^{4} + 5x {}^{2} + 3x + 1$

Answer 2

Давайте упростим это выражение поэтапно:

1. Раскроем первые два множителя: (1 - x)(1 + x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2.

2. Теперь у нас есть: (1 - x^2)(1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x) - x.

3. Раскроем оставшиеся множители: (1 - x^2)(1 + x)^4 - x.

4. Возводим (1 + x) в четвертую степень: (1 + x)^4 = 1^4 + 4 * 1^3 * x + 6 * 1^2 * x^2 + 4 * 1 * x^3 + x^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4.

5. Теперь у нас есть: (1 - x^2)(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4) - x.

6. Раскроем скобки, используя распределительное свойство: (1 - x^2) + 4x(1 - x^2) + 6x^2(1 - x^2) + 4x^3(1 - x^2) + x^4(1 - x^2) - x.

7. Умножим каждое слагаемое на скобку (1 - x^2): 1 - x^2 + 4x - 4x^3 + 6x^2 - 6x^4 + 4x^3 - 4x^5 + x^4 - x^6 - x.

8. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями: (1 - x^2) + (4x + 6x^2 - 4x^3) + (x^4 - 6x^4) + (4x^3 - 4x^5) - x^6 - x.

9. Упростим каждую группу слагаемых: 1 - x^2 + 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4 - 6x^4 + 4x^3 - 4x^5 - x^6 - x.

10. Сгруппируем слагаемые снова: 1 + 4x + x^4 - x^2 + 6x^2 - 6x^4 - 4x^3 + 4x^3 - 4x^5 - x^6 - x.

11. Упростим: 1 + 4x + x^4 - x^2 + 6x^2 - 6x^4 - 4x^5 - x^6.

Таким образом, упрощенное выражение равно: 1 + 4x + x^4 - x^2 + 6x^2 - 6x^4 - 4x^5 - x^6.