Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=2х³+63х² на отрезке [-1;1]​

Answer 1

у= 2х³+63х², [-1; 1]

Производная у' = 6х²+126х= 6х(х+21).

х=0 и х= -21 это критические точки. Из них точка х=0 принадлежит отрезку [-1; 1].

Находим значения функции в точках х= -1, х=0, х=1.

у(-1)= 2×(-1)³+63×(-1)²= -2+63= 61.

у(0)= 0.

у(1)= 2+63= 65.

Наибольшим значением функции на данном отрезке является у(1)=65, а наименьшим у(0)= 0.

Ответ: max y(x)= y(1)= 65, min y(x)= y(0)=0.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $y = 2x^3 + 63x^2$ на отрезке $[-1; 1]$, нужно проанализировать значения функции в крайних точках отрезка и в его критических точках (где производная функции равна нулю или не существует).

1. Крайние точки отрезка $[-1; 1]$: Подставим $x = -1$ и $x = 1$ в функцию:

   При $x = -1$: $y = 2(-1)^3 + 63(-1)^2 = -2 + 63 = 61$ При $x = 1$: $y = 2(1)^3 + 63(1)^2 = 2 + 63 = 65$

2. Критические точки: Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки, в которых производная меняет знак:

   $y = 2x^3 + 63x^2$ $y' = 6x^2 + 126x$

   Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: $6x^2 + 126x = 0$ $6x(x + 21) = 0$

   Из этого уравнения следует, что $x = 0$ или $x = -21$.

3. Подставляем найденные значения $x$ в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения $y$:

   При $x = 0$: $y = 2(0)^3 + 63(0)^2 = 0$ При $x = -21$: $y = 2(-21)^3 + 63(-21)^2 = -17640 + 28224 = 10584$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно 0, а наибольшее значение равно 10584.