Question

Как определить какая точка (выколотая или закрашенная), когда исследуем функцию на монотонность?

Answer 1

Ответ:

Если точка находится в знаменателе и при этом значении он будет равен нулю или не подходит по ОДЗ, то она выколотая. Во всех остальных случаях закрашенная

Объяснение:

Answer 2

При исследовании функции на монотонность необходимо определить, является ли она возрастающей, убывающей или имеет изменение направления (то есть не является ни возрастающей, ни убывающей) на определенном интервале. Для этого используются производные и их значения.

Точка на функции может быть:

1. Выколотой (разрывной): В данной точке функция может иметь разрыв (непрерывность функции нарушается). Это может быть точка разрыва первого рода (если функция имеет пределы слева и справа, но они не совпадают) или точка разрыва второго рода (если пределы слева и/или справа отсутствуют).

2. Закрашенной (непрерывной): В данной точке функция непрерывна, и у неё сохраняется непрерывное изменение без разрывов.

Чтобы определить, какая точка (выколотая или закрашенная), вы можете выполнить следующие шаги:

1. Вычислите производные функции: Определите производные функции на интервалах между возможными точками разрыва. Подсчитайте значения производных в этих точках.

2. Исследуйте знаки производных: Если производная функции положительна на интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция убывает на интервале. Если знак производной меняется с положительного на отрицательный или наоборот, то функция имеет точку экстремума (максимума или минимума) в этой точке.

3. Исследуйте наличие разрывов: Определите, есть ли разрывы в функции. Если у функции есть разрывы, то эти точки могут быть выколотыми точками.

4. Проверьте непрерывность: Если функция непрерывна на интервале и не имеет точек разрыва, то эти точки считаются закрашенными точками.

5. Обратите внимание на граничные точки: Изучите поведение функции в крайних точках интервала. Если функция имеет пределы в этих точках, то можно определить, являются ли они выколотыми или закрашенными.

Важно отметить, что процесс исследования монотонности функции может быть сложным, особенно для более сложных функций. В случае затруднений, рекомендуется использовать графики функций и их производных для визуального анализа поведения функции на интервалах.