Question

Объясните, как решать. cos^2(2x) − 5 sin^2(x) + 1 = 0

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$cos^22x-5sin^2x+1=0$

Очевидно, что нужно понизить степень у синуса и уйти на квадратное уравнение только с косинусом, чтобы потом применить замену:

$cos^22x-5\times\dfrac{1-cos2x}{2}+1=0$

Теперь для удобства все домножим на 2:

$2cos^22x+5cos2x-3=0$

Делаем замену: cos2x=t, -1<=t<=1

$2t^2+5t-3=0$

Это 7-ой класс:

$2t^2+6t-t-3=0\\2t(t+3)-(t+3)=0\\(t+3)(2t-1)=0\\t=-3\\t=1/2$

-3 посторонний корень

=> в результате обратной замены получим:

$cos2x=1/2\\\\2x=\dfrac{\pi}{3}+2n\pi,\;n\in Z\\2x=-\dfrac{\pi}{3}+2n\pi,\;n\in Z\\\\\\x=\dfrac{\pi}{6}+n\pi,\;n\in Z\\x=-\dfrac{\pi}{6}+n\pi,\;n\in Z$

Уравнение решено!

Сейчас, кстати увидел 2-ой способ решения:

$cos^22x-5sin^2x+1=0\\(2cos^2x-1)^2-5(1-cos^2x)+1=0\\4cos^4x-4cos^2x+1-5+5cos^2x+1=0\\4cos^4x+cos^2x-3=0\\4cos^4x+4cos^2x-3cos^2x-3=0\\4cos^2x(cos^2x+1)-3(cos^2x+1)=0\\(cos^2x+1)(4cos^2x-3)=0\\=>\\1)\\cos^2x=-1\\x\in\varnothing\\\\2)\\4cos^2x-3=0\\4cos^2x=3\\cos^2x=\dfrac{3}{4}\\1+cos2x=3/2\\cos2x=1/2$

Пришли к тому же ответу.

Answer 2

Данное уравнение содержит комбинацию тригонометрических функций. Давайте разберемся, как его решить.

Уравнение: $\cos^2(2x) - 5 \sin^2(x) + 1 = 0$

Для удобства заменим $\cos^2(2x)$ и $\sin^2(x)$ с помощью тригонометрических тождеств:

$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$ (Тождество половинного угла для косинуса) $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$

Подставим эти замены в исходное уравнение:

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} - 5(1 - \cos^2(x)) + 1 = 0$

Упростим уравнение:

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} - 5 + 5\cos^2(x) + 1 = 0$

Далее, заменим $\cos^2(x)$ с помощью тождества $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} - 5 + 5(1 - \sin^2(x)) + 1 = 0$

Раскроем скобки:

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} - 5 + 5 - 5\sin^2(x) + 1 = 0$

Упростим:

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} - 5\sin^2(x) = 0$

Теперь мы можем решить это уравнение. Обозначим $\sin^2(x)$ как $t$:

$\frac{1 + \cos(4x)}{2} - 5t = 0$

$1 + \cos(4x) - 10t = 0$

$\cos(4x) = 10t - 1$

Так как $\cos(4x)$ лежит в диапазоне от -1 до 1, то $10t - 1$ также должно лежать в этом диапазоне:

$-1 \leq 10t - 1 \leq 1$

Отсюда следует:

$0 \leq 10t \leq 2$

$0 \leq t \leq \frac{1}{5}$

Теперь заменяем обратно $t$ на $\sin^2(x)$:

$0 \leq \sin^2(x) \leq \frac{1}{5}$

Так как $\sin^2(x)$ не может быть отрицательным, мы видим, что решений в действительных числах у данного уравнения нет. Вероятно, вы ожидали получить комплексные решения, так как данное уравнение может иметь корни в комплексных числах.