Question

Дано равенство а^2+б^2+с^2=аб+ас+бс. Нужно доказать, что это равенство выполнится тогда и только тогда, если а=б=с.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Домножим левую и правую часть на 2 и перенесем всё в левую часть:

$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0;$

$a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bc + c^2 = 0;$

$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 = 0.$

Так как квадрат выражения на множестве действительных чисел - число неотрицательное, то это равенство возможно тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равняется 0:

$a - b=0 , a-c=0, b-c=0.$ Откуда приходим к равенству всех величин.

Answer 2

Давайте докажем это равенство методом математической индукции.

1. Базовый случай: Пусть a = b = c. Подставим это в данное уравнение:

   а^2 + б^2 + с^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2,

   аб + ас + бс = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2.

   Таким образом, в базовом случае равенство выполняется.

2. Шаг индукции: Предположим, что равенство выполняется для некоторых a, b и c, то есть a = b = c. Мы хотим доказать, что если это выполняется для этих значений, то оно выполняется и для a', b' и c', где a', b' и c' - новые значения, которые могут быть различными.

   Рассмотрим новые значения a', b' и c' такие, что a' ≠ b' ≠ c' (то есть они не равны между собой).

   Тогда у нас есть:

   a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc,

   и мы хотим доказать, что:

   a'^2 + b'^2 + c'^2 = a'b' + a'c' + b'c'.

   Рассмотрим разность между этими двумя уравнениями:

   (a'^2 - a^2) + (b'^2 - b^2) + (c'^2 - c^2) = (a'b' - ab) + (a'c' - ac) + (b'c' - bc).

   Мы знаем, что a = b = c и a' ≠ b' ≠ c', поэтому a'^2 - a^2 = (a' - a)(a' + a), b'^2 - b^2 = (b' - b)(b' + b), c'^2 - c^2 = (c' - c)(c' + c).

   Теперь мы можем подставить это в уравнение:

   (a' - a)(a' + a) + (b' - b)(b' + b) + (c' - c)(c' + c) = (a'b' - ab) + (a'c' - ac) + (b'c' - bc).

   Раскроем скобки:

   a'(a' - a) + b'(b' - b) + c'(c' - c) + a(a' - a) + b(b' - b) + c(c' - c) = a'b' - ab + a'c' - ac + b'c' - bc.

   Сократим общие слагаемые:

   a'(a' - a) + b'(b' - b) + c'(c' - c) = a'b' - ab + a'c' - ac + b'c' - bc.

   Теперь мы видим, что левая часть является разностью квадратов чисел a', b' и c', а правая часть остается такой же.

   Это означает, что если уравнение выполняется для a = b = c, то оно также выполняется для a', b' и c', где a', b', и c' могут быть любыми различными числами.

   Таким образом, мы доказали равенство методом математической индукции и утверждение верно: уравнение a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc выполняется тогда и только тогда, когда a = b = c.