Question

8. В клетке 7 белых и 5 черных кроликов. Случайно выбираем одного, затем возвращаем его обратно и повторяем опыт снова, всего четыре раза. Составьте закон распределения случайной величины Х – количество выбранных черных кроликов в четырех испытаниях

Answer 1

Всего n=7+5=12 кроликов

По формуле классической вероятности

p=m/n=5/12 - вероятность вынуть черного кролика в одном испытании

q=7/12-вероятность вынуть белого кролика в одном испытании

Случайная величина Х – количество выбранных черных кроликов в четырех испытаниях

может принимать значения от 0 до 4

Х=0

означает, что ни разу не был выбран черный кролик.

Тогда вероятность этого события:

p₀=С⁰₄(5/12)⁰·(7/12)⁴

Х=1

означает, что один  раз  был выбран черный кролик.

Тогда вероятность этого события:

p₁=С¹₄(5/12)·(7/12)³

Х=2

означает, что два  раза  был выбран черный кролик.

Тогда вероятность этого события:

p₂=С²₄(5/12)²·(7/12)²

Х=3

означает, что три  раза  был выбран черный кролик.

Тогда вероятность этого события:

p₃=С³₄(5/12)³·(7/12)

Х=4

означает, что три  раза  был выбран черный кролик.

Тогда вероятность этого события:

p₄=С⁴₄(5/12)⁴·(7/12)⁰

Закон распределения - таблица, в первой строке значения

Х  от 0 до 4

во второй их вероятности.

Answer 2

Давайте рассмотрим вероятности для каждого возможного значения случайной величины X (количество выбранных черных кроликов в четырех испытаниях).

Общее количество кроликов: 7 белых + 5 черных = 12

Вероятность выбрать черного кролика в одном испытании: P(черный) = (количество черных) / (общее количество) = 5 / 12 Вероятность выбрать белого кролика в одном испытании: P(белый) = (количество белых) / (общее количество) = 7 / 12

Теперь рассмотрим все возможные случаи значений X:

1. X = 0 (нет черных кроликов): P(X = 0) = P(белый) * P(белый) * P(белый) * P(белый) = (7/12)^4

2. X = 1 (один черный кролик): Этот случай может произойти в одном из четырех испытаний, остальные три будут белыми. P(X = 1) = P(черный) * P(белый) * P(белый) * P(белый) + P(белый) * P(черный) * P(белый) * P(белый) + P(белый) * P(белый) * P(черный) * P(белый) + P(белый) * P(белый) * P(белый) * P(черный) = 4 * (5/12) * (7/12)^3

3. X = 2 (два черных кролика): Этот случай может произойти в одном из шести комбинаций из четырех испытаний, остальные два будут белыми. P(X = 2) = C(4, 2) * (P(черный) * P(черный) * P(белый) * P(белый) + P(черный) * P(белый) * P(черный) * P(белый) + P(черный) * P(белый) * P(белый) * P(черный)) = 6 * C(4, 2) * (5/12)^2 * (7/12)^2

4. X = 3 (три черных кролика): Этот случай может произойти в четырех комбинациях из четырех испытаний, одно из них будет белым. P(X = 3) = C(4, 3) * (P(черный) * P(черный) * P(черный) * P(белый) + P(черный) * P(черный) * P(белый) * P(черный) + P(черный) * P(белый) * P(черный) * P(черный) + P(белый) * P(черный) * P(черный) * P(черный)) = 4 * C(4, 3) * (5/12)^3 * (7/12)^1

5. X = 4 (четыре черных кролика): P(X = 4) = P(черный) * P(черный) * P(черный) * P(черный) = (5/12)^4

Таким образом, закон распределения случайной величины X будет:

P(X = 0) = (7/12)^4 P(X = 1) = 4 * (5/12) * (7/12)^3 P(X = 2) = 6 * C(4, 2) * (5/12)^2 * (7/12)^2 P(X = 3) = 4 * C(4, 3) * (5/12)^3 * (7/12)^1 P(X = 4) = (5/12)^4

Здесь C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k" - число сочетаний из n элементов по k элементов.