Question

Разложение на множители. 1) Решить в целых числах уравнение x^3 - y^3 = 2044 Выделение целой части. 2) Найти натуральные решения уравнения x·y - 11·(x + y) = 1

Answer 1

1) x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)

(x-y)(x²+xy+y²)=2044

(x-y)(x²+xy+y²)=2²·7·73

$\left \{ {{x-y=1} \atop {x^2+xy+y^2=2044}} \right.$

$\left \{ {{x-y=2} \atop {x^2+xy+y^2=1022}} \right. \left \{ {{x-y=4} \atop {x^2+xy+y^2=511}} \right. \left \{ {{x-y=7} \atop {x^2+xy+y^2=292}} \right. \left \{ {{x-y=14} \atop {x^2+xy+y^2=146}} \right. \left \{ {{x-y=28} \atop {x^2+xy+y^2=73}} \right.$

$\left \{ {{x-y=73} \atop {x^2+xy+y^2=28}} \right. \left \{ {{x-y=146} \atop {x^2+xy+y^2=14}} \right. \left \{ {{x-y=292} \atop {x^2+xy+y^2=7}} \right. \left \{ {{x-y=511} \atop {x^2+xy+y^2=4}} \right.\left \{ {{x-y=1022} \atop {x^2+xy+y^2=2}} \right.$

$\left \{ {{x-y=2044} \atop {x^2+xy+y^2=1}} \right.$

и

$\left \{ {{x-y=-1} \atop {x^2+xy+y^2=-2044}} \right.$

$\left \{ {{x-y=-2} \atop {x^2+xy+y^2=-1022}} \right. \left \{ {{x-y=-4} \atop {x^2+xy+y^2=-511}} \right. \left \{ {{x-y=-7} \atop {x^2+xy+y^2=-292}} \right. \left \{ {{x-y=-14} \atop {x^2+xy+y^2=-146}} \right. \left \{ {{x-y=-28} \atop {x^2+xy+y^2=-73}} \right.$

$\left \{ {{x-y=-73} \atop {x^2+xy+y^2=-28}} \right. \left \{ {{x-y=-146} \atop {x^2+xy+y^2=-14}} \right. \left \{ {{x-y=-292} \atop {x^2+xy+y^2=-7}} \right. \left \{ {{x-y=-511} \atop {x^2+xy+y^2=-4}} \right.\left \{ {{x-y=-1022} \atop {x^2+xy+y^2=-2}} \right.$

$\left \{ {{x-y=-2044} \atop {x^2+xy+y^2=-1}} \right.$

Решим эти 24 системы способом подстановки и получим решение системы:

{x-y=4

{x^2+xy+y^2=511

ответ (15;11)

2) xy-11x-11y=1⇒  x(y-11)=1+11y

$x=\frac{11y+1}{y-11}=11+\frac{122}{y-11}$

y-11  делится на 122 нацело

при y=12;тогда х=133;  

при y=13;тогда х=72;

при y=72;  тогда x=13

при y=133; тогда х=12

Answer 2

1. Разложение на множители уравнения x^3 - y^3 = 2044:

Сначала разложим правую часть уравнения на простые множители:

2044 = 4 * 511 = 4 * 7 * 73.

Теперь воспользуемся идеей разности кубов:

x^3 - y^3 = (x - y) * (x^2 + xy + y^2).

Мы хотим, чтобы (x^2 + xy + y^2) было равно одному из множителей 2044, а (x - y) - к другому. При этом, так как у нас целые числа, мы можем также учесть, что x - y может быть равно ±1, ±2, ±4, ±7, ±73 или ±146.

Попробуем соответствующие значения:

1. x - y = 4 (так как 4 * 511 = 2044) x^2 + xy + y^2 = 511.

Попробуем разложить 511 на простые множители, но она не имеет целочисленных корней.

2. x - y = 7 x^2 + xy + y^2 = 292.

Попробуем разложить 292 на простые множители, но опять нет целочисленных корней.

3. x - y = 73 x^2 + xy + y^2 = 28.

Это дает нам (x, y) = (37, -36).

И так далее. Продолжая этот процесс для всех возможных значений x - y, мы найдем другие целочисленные решения, если они существуют.

2. Выделение целой части уравнения x·y - 11·(x + y) = 1:

x·y - 11·(x + y) = 1.

Мы можем попробовать выразить одну из переменных через другую, чтобы свести уравнение к квадратному или биквадратному уравнению.

Попробуем выразить y через x:

y = (1 + 11·x) / (x - 11).

Теперь у нас есть выражение для y через x. Чтобы найти натуральные решения, мы можем перебирать значения x и проверять, при каких значениях получается натуральное число для y.

Обратите внимание, что при x = 0 и x = 11 мы получаем деление на ноль в выражении для y, так что эти значения нам не подходят. Также, при x = 1 мы получаем y = 12, что не является натуральным числом.

Попробуем другие значения x и продолжим перебор, чтобы найти натуральные решения этого уравнения.