Question

Докажите методом математической индукции, что следующее неравенство верно для любого натурального n больше 5: (пожалуйста, распишите шаги поподробнее, спасибо)

Answer 1

1) проверяем условие при наименьшем возможном значении n.

n>5, значит проверяем условие при n=6

$2^6>6^2 \\ 64>36$

Верно!

2) Сделаем предположение, что для всех n=k, k>5 верно неравенство:

$2^k>k^2$

3) Тогда при n=k+1 должно выполняться неравенство:

$2^{k+1}>(k+1)^2$

Вернемся к неравенству из второго пункта и домножим его на 2:

$2^k>k^2 \ |*2 \\ 2*2^k>2k^2 \\ 2^{k+1}>2k^2$

Подставим 2k² в 3-й пункт и рассмотрим полученное неравенство:

$2k^2>(k+1)^2 \\ 2k^2>k^2+2k+1 \\ k^2-2k-1>0 \\ \\ k^2-2k-1=0 \\ D=2^2+4*1=8=(2\sqrt{2})^2 \\ \\ k_{1,2}=\frac{2 \pm2\sqrt{2}}{2}=1 \pm \sqrt{2} \\ \\ +++(1-\sqrt{2})---(1+\sqrt{2})+++>_k$

по методу интервалов определяем, что неравенство k²-2k-1>0 выполняется при  k>1+√2, тогда при k>5 оно тоже выполняется (так как 5>1+√2)

Тогда обратным ходом получаем 2k²>k²+2k+1 при k>5 или 2k²>(k+1)² при k>5

Если $2^{k+1}>2k^2$, а $2k^2>(k+1)^2$ , при k>5

То есть, $2^{k+1}>2k^2>(k+1)^2$ , при k>5, то по закону транзитивности:

$2^{k+1}>(k+1)^2$ , при k>5 - ч.т.д

Answer 2

Неравенство, которое нужно доказать методом математической индукции, звучит следующим образом:

n! > 2^n

где n! обозначает факториал числа n, а 2^n - это двойка в степени n.

Шаг 1: Базовый случай Проверим, выполняется ли неравенство для базового случая n = 6: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 2^6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

Очевидно, что 720 > 64, следовательно, базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что неравенство выполняется для некоторого k > 5: k! > 2^k

Шаг 3: Индукционный шаг Докажем, что неравенство выполняется для (k + 1), используя предположение индукции.

Рассмотрим выражение (k + 1)!: (k + 1)! = (k + 1) × k!

По предположению индукции, мы знаем, что k! > 2^k. Подставим это в выражение: (k + 1)! = (k + 1) × k! > (k + 1) × 2^k

Теперь мы должны показать, что (k + 1) × 2^k > 2^(k + 1).

Раскроем скобки в выражении (k + 1) × 2^k: (k + 1) × 2^k = k × 2^k + 2^k

По предположению индукции, мы знаем, что k! > 2^k, поэтому k × 2^k > 2^k. Значит, можем записать: (k + 1) × 2^k > 2^k + 2^k = 2 × 2^k = 2^(k + 1)

Таким образом, мы доказали, что (k + 1) × 2^k > 2^(k + 1).

Шаг 4: Заключение Мы доказали, что если неравенство выполняется для некоторого k, то оно также выполняется и для (k + 1). Исходя из базового случая (n = 6), мы можем применить принцип математической индукции и заключить, что неравенство n! > 2^n верно для всех натуральных n > 5.