Question

Пр32) Найдите наименьшее значение функции f(x)= 17/3x^2 + 75x^2/17 (используя производную)Спасибо!​

Answer 1

Найдем производную функции (17/3)*(-2х⁻³)+(150/17)*х

найдем критические точки  (17/3)*(-2х⁻³)+(150/17)*х=0

(17/3)*(-2х⁻³)+(150/17)*х=0

-17/(3х³)+(75х/17)/х=0; (-17*17+75*3х⁴)/х³=0;  (-17*17+75*3х⁴)/х³=0;

х⁴=17²/15²⇒х²=17/15; х=±√(17/15)

_______-√(17/15)___0_____√(17/15)______________

-                           +       -                         +

Т.к.  у нас получилось две точки минимума, и в них значение функции одинаково. то наименьшее значение равно f(-√(17/15))= (17/(3*17/15)+ (75(17/15))/17=5+5=10; f(√(17/15))= (17/(3*17/15)+ (75(17/15))/17=5+5=10

Ответ 10

Answer 2

$> \frac{150}{17}x - \frac{34}{3x^3} = 0\\\frac{150}{17}x = \frac{34}{3x^3}\\450x^4 = 578\\x^4 = \frac{578}{450} = \frac{289}{225}\\x_1_,_2 = \pm\sqrt{\frac{17}{15} }\\-----(-\sqrt{\frac{17}{15} })+++(0)--(\sqrt{\frac{17}{15} })+++>_x$

$f_{min} = f(\pm\sqrt{\frac{17}{15}}) = 10\\f_{max} = +\infty$

Answer 3

Чтобы найти наименьшее значение функции f(x), мы должны найти точку, в которой производная функции равна нулю или не существует. Давайте найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю:

f(x) = (17/3)x^2 + (75x^2)/17

f'(x) = (34/3)x + (150x)/17

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

(34/3)x + (150x)/17 = 0

Умножим обе части уравнения на 51 (наименьшее общее кратное знаменателей):

17(34/3)x + 3(150x)/17 = 0

578x + 450x = 0

1028x = 0

x = 0

Таким образом, мы получили значение x = 0, при котором производная функции равна нулю. Чтобы определить, является ли это минимумом или максимумом, нам нужно проанализировать знак производной в окрестности этой точки.

Подставим значения x между нулем, например, x = -1 и x = 1, в производную функции:

f'(-1) = (34/3)(-1) + (150(-1))/17 = -34/3 - 150/17 < 0

f'(1) = (34/3)(1) + (150(1))/17 = 34/3 + 150/17 > 0

Из этого следует, что при x < 0 производная отрицательна, а при x > 0 производная положительна.

Таким образом, x = 0 является точкой минимума для функции f(x).

Подставим x = 0 в исходную функцию, чтобы найти наименьшее значение f(x):

f(0) = (17/3)(0)^2 + (75(0)^2)/17 = 0

Наименьшее значение функции f(x) равно 0.