Question

Докажите, что многочлен 30ac + 9a2 + 10bc + b2 + 6ab + 25c2 принимает только неотрицательные значения

Answer 1

$30ac+9a^2+10bc+b^2+6ab+25c^2 = \\=(3a)^2 + b^2 + (5c)^2 + 2\cdot3a\cdot5c + 2\cdot b\cdot c + 2\cdot(3a)\cdot b = \\= (3a+b+5c)^2$

Полные квадраты неотрицательны

Answer 2

Для того чтобы доказать, что многочлен принимает только неотрицательные значения, нужно показать, что он всегда больше или равен нулю для любых значений переменных a, b и c.

Рассмотрим многочлен: P(a, b, c) = 30ac + 9a^2 + 10bc + b^2 + 6ab + 25c^2.

Давайте покажем, что данный многочлен всегда больше или равен нулю для всех значений переменных a, b и c.

Заметим, что все коэффициенты при квадратичных членах (a^2, b^2 и c^2) положительны, что означает, что эти члены всегда неотрицательны.

Теперь рассмотрим линейные члены многочлена: 30ac, 10bc и 6ab. Заметим, что произведение любых двух из этих членов всегда будет неотрицательным или нулем, так как в каждом произведении есть одинаковый знак (либо оба положительных, либо оба отрицательных).

Наконец, рассмотрим константный член: 25c^2. Так как квадрат любого числа неотрицателен, то этот член также неотрицателен.

Таким образом, каждый член многочлена P(a, b, c) неотрицателен или равен нулю для всех значений переменных a, b и c. Следовательно, сам многочлен P(a, b, c) всегда принимает только неотрицательные значения.