Question

Алгебра 10 класс. logx^2(x–1) ≥ log6–x(x–1)

Answer 1

Ответ:

На фото все подробно расписано.

Объяснение:

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с того, что логарифмы с одинаковым основанием можно сравнивать между собой только в случае, если их аргументы положительны. Также, чтобы избавиться от логарифмов, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов.

Исходное неравенство: $\log_{x^2}(x-1) \geq \log_{6-x}(x-1)$

Теперь применим свойство логарифма: $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ (где $\ln$ - натуральный логарифм):

$\frac{\ln(x-1)}{\ln(x^2)} \geq \frac{\ln(x-1)}{\ln(6-x)}$

Обратите внимание, что $x > 1$, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. Случай $x > 6$: В этом случае $6 - x$ отрицательно, поэтому мы можем умножить обе стороны неравенства на $\ln(x^2)$ (заметим, что $\ln(x^2)$ положителен, так как $x > 1$):

$\ln(x-1) \geq \ln(x-1) \cdot \frac{\ln(x^2)}{\ln(6-x)}$

Так как логарифм положителен, мы можем сократить его с обеих сторон:

$1 \geq \frac{\ln(x^2)}{\ln(6-x)}$

И так как $x > 6$, то $\ln(x^2) > 0$ и $\ln(6-x) < 0$, так как $6 - x$ отрицательно. Следовательно, знак деления меняется:

$1 \leq \frac{\ln(6-x)}{\ln(x^2)}$

Однако, так как знаменатель положителен, а числитель отрицателен, это неравенство не выполняется.

2. Случай $1 < x < 6$: В этом случае оба логарифма положительны, и мы можем переписать неравенство без логарифмов:

$\ln(x-1) \geq \ln(x-1) \cdot \frac{\ln(x^2)}{\ln(6-x)}$

Поскольку логарифм положителен, мы можем сократить его с обеих сторон:

$1 \geq \frac{\ln(x^2)}{\ln(6-x)}$

Так как $1 < x < 6$, то $\ln(x^2) > 0$ и $\ln(6-x) > 0$. Следовательно, знаки не меняются:

$1 \geq \frac{\ln(x^2)}{\ln(6-x)}$

Это неравенство выполняется.

Таким образом, неравенство $\log_{x^2}(x-1) \geq \log_{6-x}(x-1)$ выполняется для $1 < x < 6$.