Question

Даны положительные действительные числа x, y, z, для которых x+y+z= 6. Докажите, что 108 > ху^2 z^3​

Answer 1

Существует всего 10 комбинаций, при которых х+у+z=6;

1) 1+2+3;

$x {y}^{2} {z}^{3} \: = 4 \times 27 = 108$

108 = 108;

2) 1+3+2;

$x {y}^{2} {z}^{3} \: = 9 \times 8 = 72$

108 > 72;

3) 2+3+1;

$x {y}^{2} {z}^{3} \: = 2 \times {3}^{2} = 18$

108 > 18;

4) 2+1+3;

$x {y}^{2} {z}^{3} \: = 2 \times 27 = 54$

108 > 54;

5) 3+2+1;

$x {y}^{2} {z}^{3} \: = 3\times {2}^{2} = 12$

108 > 12;

6) 3+1+2;

$x {y}^{2} {z}^{3} \: = 3 \times 8 = 24$

108 > 24;

7) 2+2+2;

$x {y}^{2} {z}^{3} \: = 2 \times {2}^{2} \times {2}^{3} = 2 \times 4 \times 8 = 64$

108 > 64;

8) 1+1+4;

$x {y}^{2} {z}^{3} \: = 1 \times 1 \times {4}^{3} = 64$

108 > 64;

9) 1+4+1;

$x {y}^{2} {z}^{3} \: = 1 \times {4}^{2} \times 1= 16$

108 > 16;

10) 4+1+1;

$x {y}^{2} {z}^{3} \: = 4 \times 1 \times 1 = 4$

108 > 4;

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства неравенства 108 > ху^2 z^3, воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим значениями.

Известно, что для положительных действительных чисел a и b выполняется неравенство: 2√(ab) ≤ a + b.

Применим это неравенство к парам чисел (3x, 3y^2z^3) и (3y^2z^3, 3z^2y^2z^3):

2√(3x * 3y^2z^3) ≤ 3x + 3y^2z^3 и 2√(3y^2z^3 * 3z^2y^2z^3) ≤ 3y^2z^3 + 3z^2y^2z^3.

Упростим эти неравенства:

2√(9xy^2z^3) ≤ 3x + 3y^2z^3 и 2√(9y^4z^6) ≤ 3y^2z^3 + 3z^2y^2z^3.

Сократим обе части на 3:

2√(3xy^2z^3) ≤ x + y^2z^3 и 2√(3y^4z^6) ≤ y^2z^3 + z^2y^2z^3.

Теперь сложим оба неравенства:

2√(3xy^2z^3) + 2√(3y^4z^6) ≤ x + y^2z^3 + y^2z^3 + z^2y^2z^3.

Упростим выражение в правой части:

2√(3xy^2z^3) + 2√(3y^4z^6) ≤ x + 2y^2z^3 + z^2y^2z^3.

Заметим, что x + y^2z^3 = (x + y + y^2z^3) ≤ (x + y + z)^2 = 6^2 = 36 (в соответствии с заданным условием x + y + z = 6).

Подставим это значение в неравенство:

2√(3xy^2z^3) + 2√(3y^4z^6) ≤ 36 + z^2y^2z^3.

Теперь заметим, что z^2y^2z^3 = z^5y^2 ≤ z^5 * (x + y + z) = 6z^5.

Подставим это значение в неравенство:

2√(3xy^2z^3) + 2√(3y^4z^6) ≤ 36 + 6z^5.

Осталось доказать, что 36 + 6z^5 < 108:

36 + 6z^5 < 108 6