Question

Помогите пожалуйста решить cos(x) + sin(3x)=0​

Answer 1

$cosx + sin(3x) = 0\\sin(\frac{\pi}{2} -x)+sin(3x)=0\\ 2sin(\frac{\frac{\pi}{2} -x + 3x}{2})cos(\frac{\frac{\pi}{2} -x - 3x}{2})=0\\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})cos(\frac{\pi}{4}-x)= 0\\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}) = 0 => \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} = \pi n, n \in Z => x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z\\cos(\frac{\pi}{4}-x) = 0 => \frac{\pi}{4}-x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z => x = -\frac{\pi}{4} +2\pi k , k \in Z$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить уравнение $\cos(x) + \sin(3x) = 0$.

Давайте начнем с преобразования уравнения. Мы можем использовать тригонометрические тождества для замены синуса суммой углов:

$$\sin(3x) = \sin(x + 2x) = \sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\sin(2x).$$

Заменим это значение в исходном уравнении:

$$\cos(x) + \sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\sin(2x) = 0.$$

Теперь давайте попробуем выразить $\cos(2x)$ и $\sin(2x)$ через $\cos(x)$ и $\sin(x)$ с использованием известных тригонометрических формул:

$$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x),$$

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x).$$

Подставим это обратно в уравнение:

$$\cos(x) + \sin(x)(\cos^2(x) - \sin^2(x)) + \cos(x)(2\sin(x)\cos(x)) = 0.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$\cos(x) + \sin(x)\cos^2(x) - \sin^3(x) + 2\sin(x)\cos^2(x) = 0.$$

Объединим подобные члены:

$$3\sin(x)\cos^2(x) + \cos(x) - \sin^3(x) = 0.$$

Теперь мы имеем уравнение относительно одной переменной $\sin(x)$ и $\cos(x)$:

$$3\sin(x)\cos^2(x) + \cos(x) - \sin^3(x) = 0.$$

Для решения этого уравнения потребуется численные методы, так как оно содержит тригонометрические функции и степени переменных. Вы можете использовать методы численного решения, например, метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти приближенные значения $x$, удовлетворяющие уравнению.