Question

найти пять последовательных натуральных чисел таких что сумма квадратов первых трёх чисел равна сумме квадратов двух последних чисел

Answer 1

Ответ:

n-2;n-1;n;n+1;n+2

(n-2)²+(n-1)²+n²=(n+1)²+(n+2)²

n²-4n+4+n²-2n+1+n²=n²+4n+4+n²+2n+1

3n²-6n+5-2n²-6n-5=0

n²-12n=0

n(n-12)=0

n=0∉N

n=12

Это числа 10,11,12,13,14

Answer 2

Пусть наши пять последовательных натуральных чисел будут обозначены как $n, n+1, n+2, n+3$ и $n+4$.

Сумма квадратов первых трёх чисел: $(n^2) + ((n+1)^2) + ((n+2)^2)$

Сумма квадратов двух последних чисел: $(n+3)^2 + (n+4)^2$

Теперь нам нужно найти такое значение $n$, при котором эти два выражения будут равными:

$(n^2) + ((n+1)^2) + ((n+2)^2) = (n+3)^2 + (n+4)^2$

Раскроем квадраты и упростим уравнение:

$n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) = n^2 + 6n + 9 + n^2 + 8n + 16$

Сгруппируем одинаковые слагаемые и упростим ещё раз:

$3n^2 + 6n + 5 = 2n^2 + 14n + 25$

Переносим все слагаемые влево и упростим уравнение:

$n^2 - 8n - 20 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или факторизации. Факторизуя это уравнение, получим:

$(n - 10)(n + 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $n = 10$ и $n = -2$. Но так как мы ищем натуральные числа, то $n = -2$ не подходит.

Таким образом, подходящим значением $n$ будет $10$. Соответственно, пять последовательных натуральных чисел будут $10, 11, 12, 13$ и $14$.

Проверим:

Сумма квадратов первых трёх чисел: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365$

Сумма квадратов двух последних чисел: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$

Оба выражения равны 365, что подтверждает, что выбранные натуральные числа удовлетворяют условию.