Question

Потрібне детальне пояснення (із прикладами) теми 9 класу з алгебри: "Основні властивості числових нерівностей". ​

Answer 1

Здравствуйте!

1. Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$

Простым языком: Если первое число больше второго, а второе- больше третьего, то первое число всегда больше третьего. Это логично, ведь получается, что первое число будет самым большим из перечисленных.

Обратно: Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$

Примеры:

7>4, 4>1, поэтому 7>1.

5> -3, -3> -6, поэтому 5> -6

10<15, 15<30, поэтому 10<30.

2. Если $a > b$, то $a+с > b+с$

Простым языком: если увеличить обе части неравенства на любое число, то неравенство останется прежним.

Обратно: Если $a < b$, то $a+с < b+с$

Примечание: с может быть отрицательным числом, поэтому также справедливо неравенство: Если $a > b$, то $a-с > b-с$

Примеры:

5>2, поэтому 5+1>2+1 (6>3)

5>2, поэтому 5-2>2-2 (3>0)

6<20, поэтому 6+10<20+10 (16<30)

6<20, поэтому 6-4<20-4 (2<16)

3. Если $a > b$ и m>0, то $am > bm$

Простым языком: если умножить каждую часть неравенства на положительное число, то неравенство останется прежним.

Обратно: Если $a < b$ и m>0, то $am < bm$

Примеры:

9>4, поэтому 9*5>4*5 (45>20)

8<16, поэтому 8*3<16*3 (24<58)

4. Если $a > b$ и m<0, то $am < bm$

Простым языком: если умножить каждую часть неравенства на отрицательное число, то знак неравенства поменяется.

Обратно: Если $a < b$ и m<0, то $am > bm$

Примеры:

9>4, поэтому 9*(-5)>4*(-5) (-45<-20)

-5<-1, поэтому (-5)*(-3)<(-1)*(-3) (15>3)

5. Вытекает из 4-го: Если $a > b$, то $-a < -b$

Простым языком: если умножить каждую часть неравенства на (-1), то знак неравенства поменяется.

Обратно: Если $a < b$, то $-a > -b$

Примеры:

9>4, поэтому -9<-4

-5<-1, поэтому 5>1

6. Если $a > b+с$, то $a-b>c$

Простым языком: если перенести число из одной части неравенства в другую, то число поменяет свой знак, а знак неравенства останется прежним.

Обратно: Если $a > b+с$, то $a-b>c$

Примечание: с может быть отрицательным числом, поэтому также справедливо неравенство: Если $a > b-с$, то $a+с > b$

Примеры:

7>2+3, поэтому 7-3>2

8>7-1, поэтому 8+1>7

Все эти свойства были приведены к строгим неравенствам. У нестрогих неравенств свойства точно такие же, только они имеют знак "не больше" или "не меньше".

Краткие свойства нестрогих неравенств:

1. Если $a \geqslant b$ и $b \geqslant c$, то $a \geqslant c$

2. Если $a \geqslant b$, то $a+с \geqslant b+с$

3. Если $a \geqslant b$ и m>0, то $am \geqslant bm[/tex]4. Если [tex]a \geqslant b$ и m<0, то $am \leqslant bm$

5. Если $a \geqslant b$, то $-a \leqslant -b$

6. Если $a \geqslant b+с$, то $a-b \geqslant c$

Answer 2

Основні властивості числових нерівностей є важливою темою в алгебрі, яка допомагає розуміти та працювати з нерівностями між числами. Такі нерівності можуть виникати в різних математичних задачах, а також в реальних ситуаціях. Давайте розглянемо основні властивості числових нерівностей разом з прикладами.

1. Додавання та віднімання: Якщо до обох боків нерівності додати або відняти одне і те ж число, то нерівність залишається незмінною.

   Приклад: Якщо $a < b$, то $a + c < b + c$.

2. Множення та ділення на додатнє число: Якщо обидві сторони нерівності помножити на додатнє число, то нерівність залишиться незмінною. Так само, якщо обидві сторони поділити на додатнє число.

   Приклад: Якщо $a < b$ і $c > 0$, то $ac < bc$.

3. Множення та ділення на від'ємне число: Якщо обидві сторони нерівності помножити на від'ємне число, то напрям нерівності зміниться.

   Приклад: Якщо $a < b$ і $c < 0$, то $ac > bc$.

4. Зміна напряму нерівності при множенні на від'ємне число: Якщо обидві сторони нерівності помножити на від'ємне число, напрям нерівності зміниться.

   Приклад: Якщо $a < b$, то $-a > -b$.

5. Сполучення нерівностей:

   • При додаванні двох нерівностей допустимої та допустимої отримаємо допустиму нерівність.
   • При відніманні допустимої нерівності від допустимої отримаємо допустиму нерівність.

   Приклад: Якщо $a < b$ і $c < d$, то $a + c < b + d$.

6. Перемноження нерівностей:

   • Якщо $a < b$ та $c < d$, то $ac < bd$.

   Приклад: Якщо $2 < 5$ і $-1 < 3$, то $(2) \cdot (-1) = -2 > (5) \cdot (3) = 15$.

Ці властивості допомагають працювати з числовими нерівностями і розв'язувати різноманітні математичні та реальні задачі, де важливо встановити відношення між числами.