Question

Доказать что А) 16^7-2^25 делиться на 7 Б) 81^6-3^21 делиться на 13

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

решение внизу

Answer 2

Давайте докажем оба утверждения по очереди:

А) Доказательство того, что $16^7 - 2^25$ делится на 7:

Для начала, давайте выразим числа $16^7$ и $2^{25}$ в более удобной форме:

$16^7 = (2^4)^7 = 2^{28}$, $2^{25} = 2^{5 \cdot 5} = 2^{25}$.

Теперь мы можем переписать выражение $16^7 - 2^{25}$ как $2^{28} - 2^{25}$.

Обратим внимание, что $2^{28}$ и $2^{25}$ имеют общий множитель $2^{25}$:

$2^{28} - 2^{25} = 2^{25} \cdot (2^3 - 1)$.

$2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Таким образом, $2^{28} - 2^{25}$ можно записать как $2^{25} \cdot 7$, что означает, что оно делится на 7 без остатка.

Б) Доказательство того, что $81^6 - 3^{21}$ делится на 13:

Мы можем воспользоваться тем, что $81 = 3^4$ и $3^{21} = 3^{4 \cdot 5 + 1} = 3^{20} \cdot 3$.

Таким образом, $81^6 - 3^{21} = (3^4)^6 - 3^{20} \cdot 3$.

Это можно переписать как $3^{24} - 3^{21} \cdot 3$.

Теперь мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $3^{21}$:

$3^{24} - 3^{21} \cdot 3 = 3^{21} \cdot (3^3 - 3)$.

$3^3 - 3 = 27 - 3 = 24$.

Таким образом, $3^{21} \cdot (3^3 - 3) = 3^{21} \cdot 24$, что означает, что оно делится на 24 без остатка.

Однако, чтобы завершить доказательство, нам нужно показать, что $3^{21} \cdot 24$ также делится на 13. Для этого заметим, что $3^{21} \cdot 24 = 3^{21} \cdot 2 \cdot 12$, и $3^{21} \cdot 2$ делится на 13, так как $3^{21}$ делится на 13 (вы можете убедиться в этом, вычислив $3^{21}$ по модулю 13).

Таким образом, оба утверждения доказаны.