Question

Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона (х+2a)4

Answer 1

Ответ:

$(x+2a)^4=x^4+8a\cdot x^3+24a^2\cdot x^2+32a^3\cdot x+16a^4$

Объяснение:

Формула для бинома Ньютона:

$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}$

Тогда:

$(x+2a)^4=\sum\limits_{k=0}^{4}C_4^k\cdot x^{4-k}\cdot (2a)^{k}=\\\\\\=C_4^0\cdot x^4\cdot (2a)^0 + C_4^1\cdot x^3\cdot (2a)^1+C_4^2\cdot x^2\cdot (2a)^2+C_4^3\cdot x^1\cdot (2a)^3+C_4^4\cdot x^0\cdot (2a)^4=\\\\\\=1\cdot x^4+4\cdot x^3\cdot 2a+6\cdot x^2\cdot 4a^2+4\cdot x\cdot 8a^3+1\cdot 16a^4=\\\\\\=x^4+8a\cdot x^3+24a^2\cdot x^2+32a^3\cdot x+16a^4$

Answer 2

Для представления степени двучлена (x + 2a)^4 в виде многочлена с использованием бинома Ньютона, мы можем применить формулу:

(x + 2a)^4 = C(4,0) * x^4 * (2a)^0 + C(4,1) * x^3 * (2a)^1 + C(4,2) * x^2 * (2a)^2 + C(4,3) * x^1 * (2a)^3 + C(4,4) * x^0 * (2a)^4

Где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n - k)!) и выражает количество способов выбрать k элементов из n элементов.

Применим формулу для каждого слагаемого:

(x + 2a)^4 = 1 * x^4 * 1 + 4 * x^3 * (2a) + 6 * x^2 * (2a)^2 + 4 * x^1 * (2a)^3 + 1 * x^0 * (2a)^4

Упростим каждое слагаемое:

(x + 2a)^4 = x^4 + 8ax^3 + 24a^2x^2 + 32a^3x + 16a^4

Таким образом, степень двучлена (x + 2a)^4 может быть представлена в виде многочлена как x^4 + 8ax^3 + 24a^2x^2 + 32a^3x + 16a^4.