Question

По условиям Даламбера-Эйлера доказать аналитичность функции и найти её производную: W = sin z

Answer 1

Ответ:

$\cos (z)$

Объяснение:

$\sin (z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\dfrac{-e^{-i(x+iy)}+e^{i(x+iy)}}{2i}=\dfrac{-e^{y-ix}+e^{-y+ix}}{2i}=\\ \dfrac{-e^{y}(cos(-x)+isin(-x))+e^{-y}(cos(x)+isin(x))}{2i}= \\ \dfrac{ie^{y}(cos(x)-isin(x))-ie^{-y}(cos(x)+isin(x))}{2}= \\ \dfrac{sin(x)(e^{y}+e^{-y})+i\cdot cos(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}$

$u(x,y)=\dfrac{sin(x)(e^{y}+e^{-y})}{2},\;\;v(x,y)=\dfrac{cos(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{cos(x)(e^{y}+e^{-y})}{2},\;\;\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{sin(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}$

$\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{-sin(x)(e^{y}-e^{-y})}{2},\;\;\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{cos(x)(e^{y}+e^{-y})}{2}$

Как видим, условия Даламбера-Эйлера выполняются. При этом частные производные u и v непрерывны по обеим переменным, а значит W(z) аналитична. Тогда ее производная равна

$W'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{cos(x)(e^{y}+e^{-y})}{2}+i\dfrac{-sin(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}=\\ \dfrac{e^{y}(cos(x)-isin(x))+e^{-y}(cos(x)+isin(x))}{2}=\\ \dfrac{e^{y}e^{-ix}+e^{-y}e^{ix}}{2}=\dfrac{e^{y-ix}+e^{-y+ix}}{2}=\cos(z)$

Answer 2

Условия Даламбера-Эйлера (также известные как условия Коши-Римана) - это система уравнений, которые определяют аналитичность комплексной функции. Для функции $W = \sin(z)$, где $z = x + iy$ - комплексное число, эти условия имеют вид:

$$\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y}, \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{\partial v}{\partial x}, \end{align*}$$

где $u$ - вещественная часть функции, $v$ - мнимая часть функции.

Функция $\sin(z) = \sin(x + iy)$ может быть представлена в виде:

$$\sin(z) = \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y),$$

где $\cosh(y)$ - гиперболический косинус, $\sinh(y)$ - гиперболический синус.

Сначала найдём вещественную и мнимую части этой функции:

$$\begin{align*} u &= \sin(x)\cosh(y), \\ v &= \cos(x)\sinh(y). \end{align*}$$

Теперь вычислим производные:

$$\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} &= \cos(x)\cosh(y), \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= \sin(x)\sinh(y), \\ \frac{\partial v}{\partial x} &= -\sin(x)\sinh(y), \\ \frac{\partial v}{\partial y} &= \cos(x)\cosh(y). \end{align*}$$

Условия Даламбера-Эйлера выполняются:

$$\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \cos(x)\cosh(y) = \cos(x)\cosh(y), \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{\partial v}{\partial x}, \quad \sin(x)\sinh(y) = -\sin(x)\sinh(y). \end{align*}$$

Так как условия выполняются, функция $W = \sin(z)$ является аналитической.

Теперь найдём производную функции $W = \sin(z)$:

$$\begin{align*} \frac{d}{dz} \sin(z) &= \frac{d}{dz} (\sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y)) \\ &= \cos(x)\cosh(y) + i(-\sin(x)\sinh(y)) \\ &= \cos(z) - i\sin(z). \end{align*}$$

Итак, производная функции $W = \sin(z)$ по комплексному аргументу $z$ равна $\cos(z) - i\sin(z)$.