Question

Arctg 1/7 + 2arcsin 1/v10 = п/4 докажите тождество срочнооооооооо

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$arcsin(\frac{1}{\sqrt{10} })=arctg\frac{\frac{1}{\sqrt{10}} }\sqrt{1-\frac{1}{10} }} =arctg{\frac{1}{3}$

$tg(arctg\frac{1}{7} +2arctg\frac{1}{3} )=tg(\frac{\pi}{4})\\tg(arctg\frac{1}{7} +2arctg\frac{1}{3} )=1$

Разложим тангенс суммы слева:

$tg(arctg\frac{1}{7} +2arctg\frac{1}{3} )=\frac{tg(atctg\frac{1}{7})+tg(2arctg(\frac{1}{3}))}{1-tg(arctg(\frac{1}{7}))*tg(2atctg(\frac{1}{3}))}=*$

вычислим :

$tg(2atctg(\frac{1}{3}))=\frac{2tg(arctg(\frac{1}{3}))}{1-tg^2({arctg\frac{1}{3}})}=\frac{2*\frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2*9}{8*3}=\frac{3}{4}$

$*=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}*\frac{3}{4}}=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}=1$

1=1

Answer 2

Давайте докажем это тождество:

У нас дано тождество:

arctan(1/7) + 2arcsin(1/√10) = π/4

Начнем с первого члена: arctan(1/7)

Известно, что tan(π/4) = 1, что означает, что arctan(1) = π/4. Мы также знаем, что tan(x) - это отношение противолежащего и прилежащего катетов в прямоугольном треугольнике, поэтому tan(π/4) = 1/1 = 1.

Таким образом, arctan(1/7) = π/4 - arctan(6/7).

Теперь рассмотрим второй член: 2arcsin(1/√10)

Мы знаем, что sin(π/6) = 1/2. Также, вспомним, что arcsin(x) возвращает угол, для которого sin этого угла равен x. Таким образом, arcsin(1/2) = π/6.

Следовательно, 2arcsin(1/√10) = 2 * (π/6) = π/3.

Итак, у нас есть:

arctan(1/7) + 2arcsin(1/√10) = π/4 - arctan(6/7) + π/3

Чтобы доказать тождество, нам нужно показать, что:

π/4 - arctan(6/7) + π/3 = π/4

Для этого давайте сначала объединим углы в одну сумму:

π/4 - arctan(6/7) + π/3 = (3π + 4π - 4arctan(6/7)) / 12

Теперь воспользуемся тем, что arctan(6/7) = arctan(tan(π - arctan(6/7))), так как arctan(x) = π/2 - arctan(1/x):

(3π + 4π - 4arctan(6/7)) / 12 = (7π - 4arctan(tan(π - arctan(6/7)))) / 12

Поскольку tan(π - x) = -tan(x), это упрощается до:

(7π - 4arctan(-6/7)) / 12

arctan(-x) = -arctan(x), следовательно:

(7π + 4arctan(6/7)) / 12

Теперь, давайте вернемся к исходному тождеству:

arctan(1/7) + 2arcsin(1/√10) = π/4

Мы показали, что левая сторона равна π/4, и следовательно, тождество доказано.

Таким образом, мы успешно доказали, что arctan(1/7) + 2arcsin(1/√10) = π/4.