Question

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график y=x^3-3x^2+4

Answer 1

Ответ: на фото

Объяснение:

Answer 2

Конечно, давайте начнем с исследования функции y = x^3 - 3x^2 + 4 с помощью производной. Первая производная функции позволяет нам анализировать её поведение, экстремумы и выпуклость.

1. Найдем первую производную функции: y = x^3 - 3x^2 + 4 y' = 3x^2 - 6x

2. Найдем точки, где производная равна нулю (критические точки): 3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0 x = 0 или x = 2

3. Теперь определим знак производной в интервалах между и за пределами критических точек:

   • В интервале (-∞, 0), производная (3x^2 - 6x) < 0, следовательно, функция убывает.
   • В интервале (0, 2), производная (3x^2 - 6x) > 0, следовательно, функция возрастает.
   • В интервале (2, +∞), производная (3x^2 - 6x) > 0, следовательно, функция также возрастает.

4. Найдем значения функции в критических точках и граничных точках: При x = 0: y(0) = 0^3 - 3 * 0^2 + 4 = 4 При x = 2: y(2) = 2^3 - 3 * 2^2 + 4 = -4

Итак, у нас есть следующая информация:

• Функция убывает на интервале (-∞, 0).
• Функция возрастает на интервалах (0, 2) и (2, +∞).
• В критической точке x = 0 достигается локальный минимум.
• В критической точке x = 2 достигается локальный максимум.

Теперь давайте построим график этой функции:

На графике видно, как функция проходит через минимум в точке (0, 4) и максимум в точке (2, -4), а также как она возрастает на интервалах (0, 2) и (2, +∞) и убывает на интервале (-∞, 0).