Question

Найти общие решения дифференциальных уравнений. Помогите (xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для того чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Дано уравнение:

$(xy^2+x)dx + (y-x^2y)dy = 0$

Давайте разделим обе стороны на $xy^2$:

$\frac{1}{y^2}dx + \frac{1}{x}dy - xdy + \frac{1}{xy^2}dx = 0$

Теперь объединим подобные дифференциалы:

$\frac{1}{y^2}dx + \frac{1}{x}dy + \frac{1}{xy^2}dx - xdy = 0$

$\left(\frac{1}{y^2} + \frac{1}{xy^2}\right)dx + \left(\frac{1}{x} - x\right)dy = 0$

$\frac{x+1}{xy^2}dx + \frac{1-x^2}{x}dy = 0$

Теперь мы можем рассматривать это как полное дифференциальное уравнение и попытаться найти функцию $u(x, y)$ такую, что $du = 0$:

$du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy = 0$

Сравнивая коэффициенты перед $dx$ и $dy$ в нашем уравнении с коэффициентами перед $dx$ и $dy$ в уравнении для $du$, мы можем попытаться подобрать подходящую функцию $u(x, y)$:

$\frac{x+1}{xy^2} = \frac{\partial u}{\partial x} \quad \text{и} \quad \frac{1-x^2}{x} = \frac{\partial u}{\partial y}$

Интегрируя первое уравнение относительно $x$ и второе уравнение относительно $y$, получим:

$u = \int \frac{x+1}{xy^2} dx = \int \frac{1}{xy} + \frac{1}{xy^2} dx = \ln|y| - \frac{1}{x} + g(y)$

$u = \int \frac{1-x^2}{x} dy = \int \frac{1}{x} dy - \int x dy = \ln|x| - \frac{x^2}{2} + h(x)$

Здесь $g(y)$ и $h(x)$ - произвольные функции.

Теперь мы должны приравнять выражения для $u$, полученные из обоих уравнений:

$\ln|y| - \frac{1}{x} + g(y) = \ln|x| - \frac{x^2}{2} + h(x)$

Отсюда можно выразить $g(y)$ через $h(x)$:

$g(y) = \ln|x| - \ln|y| - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} + h(x)$

Подставив это обратно в выражение для $u$, получим:

$u = \ln|y| - \frac{1}{x} + \ln|x| - \ln|y| - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} + h(x)$