Question

P(x)- многочлен четвертой степени такой, что Р(1)=Р(-1) и Р(2)=Р(-2). Докажите что Р(х)=Р(-х) для любого х

Answer 1

Ответ: утверждение доказано.

Объяснение:

Запишем многочлен в виде P(x)=a*x⁴+b*x³+c*x²+d*x+e. Из равенства P(1)=P(-1) следует равенство a+b+c+d+e=a-b+c-d+e, или b+d=-(b+d). Но это возможно только при b+d=0, откуда d=-b. Поэтому многочлен приобретает вид P(x)=a*x⁴+b*x³+c*x²-b*x+e. Из равенства P(2)=P(-2) следует равенство 16*a+8*b+4*c-2*b+e=16*a-8*b+4*c+2*b+e, или 16*a+6*b+4*c+e=16*a-6*b+4*c+e, или 6*b=-6*b. Но это возможно только при b=0, а тогда и d=-b=0. Теперь многочлен P(x) приобретает вид P(x)=a*x⁴+c*x²+e. Подставляя в него вместо x -x, получаем P(-x)=a*(-x)⁴+c*(-x)²+e=a*x⁴+c*x²+e=P(x). Утверждение доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что P(x) = P(-x) для любого x, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Известно, что P(1) = P(-1) и P(2) = P(-2). Это означает, что у многочлена P(x) есть два корня: 1 и -1; а также 2 и -2.

2. Так как P(x) - многочлен четвертой степени, у него может быть не более 4 корней.

3. Допустим, у нас есть ещё один корень a, который не равен 1, -1, 2 или -2. Тогда у нас уже есть 4 различных корня, что противоречит максимальному числу корней для многочлена четвертой степени.

4. Таким образом, мы можем заключить, что нет других корней кроме 1, -1, 2 и -2.

5. Для доказательства того, что P(x) = P(-x) для любого x, достаточно заметить, что если x = 1, то P(1) = P(-1), а если x = 2, то P(2) = P(-2). Так как у нас нет других корней, мы можем утверждать, что P(x) = P(-x) для любого x.

Таким образом, мы доказали, что P(x) = P(-x) для любого x.