Question

Найди коэффициент при х² в биоминальном разложение (2-х)⁴

Answer 1

$\boxed {\ (a+b)^4=a^4+C_4^1a^3b+C_4^2a^2b^2+C_4^3ab^3+b^4\ }\\\\\\(2-x)^4=2^4+4\cdot 2^3\cdot (-x)+\underbrace {6\cdot 2^2\cdot (-x)^2}_{6\cdot 4\cdot x^2}+4\cdot 2\cdot (-x)^3+(-x)^4$

Коэффициент при  $x^2$  равен  $6\cdot 4=24$  .

Answer 2

Для нахождения коэффициента при $x^2$ в биномиальном разложении $(2 - x)^4$, мы можем использовать формулу бинома Ньютона:

$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$,

где $\binom{n}{k}$ - это биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k! (n - k)!}$.

В данном случае $a = 2$, $b = x$, $n = 4$. Мы ищем коэффициент при $x^2$, что соответствует $k = 2$:

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$.

Теперь мы можем подставить найденный биномиальный коэффициент в формулу:

$(-1)^2 \cdot 6 \cdot 2^{4-2} x^2 = 6 \cdot 4 x^2 = 24x^2$.

Таким образом, коэффициент при $x^2$ в разложении $(2 - x)^4$ равен $24$.