Question

Помогите. Даю 20 баллов Доказать, что многочлен x³+y³+z³-3xyz делится на многочлен x+y+z.​​

Answer 1

Решение на фото. Дважды сворачивала формулу куб суммы и выносила общие множители

Answer 2

Для того чтобы доказать, что многочлен $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ делится на многочлен $x + y + z$, мы можем воспользоваться методом подстановки. Если мы подставим $y = x$ и $z = -2x$, то многочлен $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ примет следующий вид:

$$x^3 + x^3 + (-2x)^3 - 3x \cdot x \cdot (-2x) = 2x^3 - 8x^3 + 6x^3 = 0.$$

Это означает, что многочлен обращается в ноль при подстановке $y = x$ и $z = -2x$, следовательно, $x + y + z = x + x - 2x = 0$, и многочлен $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ действительно делится на $x + y + z$.

Таким образом, мы доказали, что многочлен $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ делится на $x + y + z$. Спасибо за возможность заработать 20 баллов! Если у вас есть ещё вопросы или что-то неясно, пожалуйста, дайте знать.